IB Math AI SL 数与代数 — 完整学习指南

适用对象：备考 IB Mathematics AI SL 的中国学生。

本章覆盖：IB AI SL Topic 1 — 科学计数法、等差与等比数列与级数、指数与对数、金融数学（复利、折旧、年金）、基础方程组。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 IB AI SL 风格原创的教学题。

1. 为什么 AI SL 数与代数重要

Topic 1 占 AI SL 15-18% — 比微积分或统计稍轻，但唯一专门处理金融数学（复利、贷款分期、储蓄计划）的 topic。GDC 的 TVM 求解器要熟悉 — 多数金融题靠计算器解。

2. 科学计数法与近似

IB SL 中常用 $a\times 10^n$（$1\le a<10$）。

除非题目指明，统一保留 3 有效数字。极小或极大数（原子质量、行星距离）用科学计数法防数零错误。

3. 等差数列与级数

公差 $d$。第 $n$ 项：$u_n=u_1+(n-1)d$。

前 $n$ 项和： $$S_n=\frac{n}{2}[2u_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(u_1+u_n)$$

应用：定额月储蓄、定额折旧、等距现金流。

4. 等比数列与级数

公比 $r$。第 $n$ 项：$u_n=u_1\cdot r^{n-1}$。

前 $n$ 项和（$r\ne 1$）： $$S_n=\frac{u_1(r^n-1)}{r-1}$$

无限和（$|r|<1$）：$S_{\infty }=\frac{u_1}{1-r}$。

应用：复利、指数衰减（放射性、药物代谢）、反复弹跳的球。

5. 复利

$FV=PV\cdot (1+r/k{)}^{kn}$，$PV$ 现值、$r$ 年利率、$k$ 每年复利次数、$n$ 年数。

特殊情形：

• 年复利：$FV=PV(1+r{)}^n$。
• 月复利：$FV=PV(1+r/12{)}^{12n}$。
• 连续复利：$FV=PV\cdot e^{rn}$。

贷款/年金用 GDC 的 TVM（货币时间价值）求解器：输入 $N$、$I\%$、$PV$、$PMT$、$FV$，未知项留空。AI SL 约定：钱出（存入、付款）为负，钱进（提取、收到贷款）为正。

6. 指数与对数

指数增长：$y=a\cdot b^x$（$b>1$）。衰减：$0<b<1$。

对数定义：${\log }_{a}x=y⟺a^y=x$。常用底 10（直接 $\log$）和底 $e$（直接 $\ln$）。

定律：

• $\log (xy)=\log x+\log y$
• $\log (x/y)=\log x-\log y$
• $\log (x^n)=n\log x$
• ${\log }_{a}x=\frac{\log x}{\log a}$（换底）

指数方程两边取 $\log$ 求解：$5^x=30⟹x=\log 30/\log 5\approx 2.113$。

7. 例题精讲

某银行年利率 4.5%、月复利。今天存入 $5000，未来5年每月末再存$200。

(a) 求 5 年后原始 $5000 的未来值。 (b) 用等比级数求每月存款累计的未来值。 (c) 用 TVM 求解器（或求和）求总余额。

解答。

(a) $FV=5000\cdot (1.00375{)}^{60}=5000\cdot 1.2517=6258.50$。

(b) 第 $k$ 月的 $200增长$(60 - k)$月。求和：$\sum_{k=1}^{60} 200 \cdot 1.00375^{60-k}$。 等比首项 $200\cdot 1.00375^{59}$、公比 $1/1.00375$、60 项。等价于： $$F{V}_{\text{存款}}=200\cdot \frac{1.00375^{60}-1}{0.00375}=200\cdot 67.13=13425$$

(c) 总额：$6258.50+13425=19684$。TVM 求解器输入 $PMT=-200$、$PV=-5000$、$r=4.5\%$、$N=60$、复利 12 → $FV\approx 19684$。

8. 易错点

• 复利周期不匹配：月复利要 $r/12$ 与 $12n$ 配套，不能混。
• TVM 符号约定：钱出为负。不一致就错。
• 等比级数无穷和条件：$S_{\infty }$ 公式只在 $|r|<1$ 时有效。$|r|\ge 1$ 级数发散。
• 对数底：计算器 $\log$ 是 10；$\ln$ 是 $e$。别和 CS 默认 2 混。

9. 练习题

1. 等差数列第 5 项 23、第 12 项 51。求第 1 项和前 20 项和。
2. 一辆 $20,000 的车每年贬值 15%。8 年后值多少？
3. 解 $2\cdot 3^x=5\cdot 2^x$。

10. 速查表

• 等差：$u_n=u_1+(n-1)d$、$S_n=\frac{n}{2}(2u_1+(n-1)d)$。
• 等比：$u_n=u_1{r}^{n-1}$、$S_n=u_1(r^n-1)/(r-1)$、$S_{\infty }=u_1/(1-r)$（$|r|<1$）。
• 复利：$FV=PV(1+r/k{)}^{kn}$。
• 连续：$FV=PV\cdot e^{rn}$。
• 对数定律：$\log (xy)=\log x+\log y$、$\log x^n=n\log x$。
• 换底：${\log }_{a}x=\log x/\log a$。

11. 下一步

AI SL 数与代数喂入 Topic 4（统计） 中的几何分布与 Poisson、Topic 5（微积分） 的 $e=\lim (1+1/n{)}^n$。具体 TVM 或对数题可问小欧。