微分方程的分离变量法

IB 数学 AI HL· 25 分钟阅读

1. 识别可分离变量微分方程★★☆☆☆⏱ 8 min

若一阶微分方程整理后可将所有 $y$ 项放在一侧、所有 $x$ 项放在另一侧，则该方程可分离变量。

\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)

📘 定义

可分离变量微分方程

可拆分为仅关于 $x$ 和仅关于 $y$ 的两个独立函数的一阶微分方程，可以对每个变量分别积分。

例:

$\frac{d y}{d x} = x y$ 是可分离变量的，而 $\frac{d y}{d x} = x + y$ 不是。

📐 例题

判断 $\frac{d y}{d x} = \frac{x y ^{3}}{1 + x ^{2}}$ 是否可分离变量。

1
将右侧因式分解为仅含 $x$ 的函数和仅含 $y$ 的函数的乘积：
2
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{x}{1 + x^2}\right) \times y^3$
3
由于第一项仅依赖 $x$ ，第二项仅依赖 $y$ ，因此该方程可分离变量。

✓ 快速检测

检验你的理解：

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x$ 是否可分离变量？
- 是
- 否
$\frac{d y}{d x} = x + 2 y$ 是否可分离变量？
- 是
- 否
显示答案
1 —
该方程无法拆分为仅含 $x$ 和仅含 $y$ 的函数的乘积，因此不可分离变量。

2. 求通解★★★☆☆⏱ 10 min

确认方程可分离变量后，遵循以下三个核心步骤即可得到通解，通解包含任意积分常数，代表所有解的集合。

整理方程，将所有 $y$ 项与 $d y$ 放在一侧，所有 $x$ 项与 $d x$ 放在另一侧
对两侧分别关于各自变量积分
化简得到 $y$ 关于 $x$ 的函数，保留积分常数

📐 例题

求 $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} y$ 的通解。

1
分离变量：
2
$\frac{1}{y} dy = 3x^2 dx$
3
对两侧积分：
4
$\int \frac{1}{y} dy = \int 3x^2 dx$
5
计算积分并添加积分常数：
6
$\ln|y| = x^3 + C$
7
取指数求解 $y$ ，其中 $A = e^{C}$ 是任意常数：
8
$y = A e^{x^3}$

3. 利用初始条件求特解★★★☆☆⏱ 7 min

大多数考题会给出初始条件（解经过的点 $(x_{0}, y_{0})$ ），用于求解唯一的特定解，即特解。

📘 定义

特解

同时满足微分方程和给定初始条件的特定解，不含任意常数。

📐 例题

已知 $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} y$ 满足 $y (0) = 2$ ，求特解。

1
从之前求得的通解开始：
2
$y = A e^{x^3}$
3
代入初始条件 $x = 0, y = 2$ 求解 $A$ ：
4
$2 = A e^{0^3} = A(1) \implies A = 2$
5
代回 $A$ 得到特解：
6
$y = 2 e^{x^3}$

4. 实际应用问题★★★★☆HL 专属⏱ 10 min

分离变量法广泛用于求解实际速率问题，包括人口增长、放射性衰变和冷却过程。你需要先将问题描述转化为微分方程，再用上述步骤求解。

📐 例题

细菌种群的增长率与 $t$ 时刻（单位：小时）的当前种群数量 $P$ 成正比。 $t = 0$ 时，种群数量为1000。2小时后，种群数量为3000。求 $P (t)$ 。

1
将问题转化为微分方程， $k$ 是比例常数：
2
$\frac{dP}{dt} = kP$
3
分离变量并积分得到通解：
4
$\int \frac{1}{P} dP = \int k dt \implies P(t) = A e^{kt}$
5
利用初始条件 $P (0) = 1000$ 求 $A$ ：
6
$1000 = A e^{0} \implies A = 1000$
7
利用第二个条件 $P (2) = 3000$ 求 $k$ ：
8
$3000 = 1000 e^{2k} \implies 2k = \ln 3 \implies k = \frac{1}{2}\ln 3$
9
写出最终化简后的解：
10
$P(t) = 1000 (3)^{\frac{t}{2}}$

5. 常见陷阱

错误做法:

积分后忘记添加积分常数

原因:

没有常数的话，你只能得到一个任意解，而非满分要求的通解

正确做法:

两侧积分完成后立刻在一侧添加积分常数

错误做法:

尝试对不可分离变量的微分方程分离变量

原因:

你会在考试中浪费时间，而且用这个方法无法得到正确解

正确做法:

开始分离前先检查右侧是否能因式分解为 $f (x) g (y)$ 的形式

错误做法:

在 $x$ 侧和 $y$ 侧各添加一个独立常数

原因:

这会带来不必要的额外工作量，增加代数计算错误的风险

正确做法:

两侧积分后只在 $x$ 侧添加一个常数即可

错误做法:

积分前代入初始条件

原因:

你会丢失正确计算积分常数所需的信息

正确做法:

先求出完整的通解，再代入初始条件求常数

6. 速查表

步骤	操作
1	检查是否满足 $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$ （可分离变量）
2	整理： $\frac{1}{g ( y )} d y = f (x) d x$
3	对两侧积分，在一侧添加 $C$
4	化简得到通解
5	代入初始条件得到特解

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 2
8分初值问题
2023 · 1
5分人口增长问题

下一步

分离变量法是IB 数学 AI HL中所有微分方程内容的基础，在试卷1和试卷2中都经常考察，通常出现在分值5-8分的实际应用问题中。掌握该方法可以为你学习微分方程数值方法和更复杂的种群模型做好准备，这些都是期末考试中的常见考点。