单元总览
微积分
IB 数学：应用与解释 HL· 5 分钟阅读 📊 占IB AI HL考试总分的20-25%
1. 单元概览
我们从导数的概念基础逐步推进到应用问题求解与建模，每个新技能都建立在之前的基础上。我们从微分开始，然后用它分析函数、解决应用问题。接下来我们讲解积分、积分技巧，以及它在面积和体积计算中的应用。最后，我们以用于现实世界建模的一阶微分方程结束本单元。
本单元包含以下子主题：
导数的极限定义
介绍基于极限的导数正式定义及其概念含义。
★★★⏱ 10 min
微分法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则
学习核心法则，快速计算复杂组合函数的导数。
★★⏱ 12 min
标准函数的导数
记忆并应用多项式、指数函数、对数函数和三角函数的导数公式。
★★⏱ 8 min
切线、法线、临界点、拐点
使用导数求切线/法线方程，确定函数图像上关键点的位置。
★★★⏱ 10 min
单调函数、二阶导数测试
使用导数对极值分类，确定函数的递增和递减区间。
★★★⏱ 10 min
优化问题
应用微分求现实世界应用问题的最大值和最小值。
★★★★⏱ 12 min
相关变化率
解决涉及不同量随时间变化的相互关联变化率问题。
★★★★⏱ 10 min
原函数与不定积分
介绍原函数和不定积分的基本法则。
★★★⏱ 9 min
定积分与曲线下面积
将定积分与曲线下面积联系起来，应用微积分基本定理。
★★★⏱ 10 min
积分技巧：换元法与分部积分法
学习两种核心方法，对更复杂的非标准函数进行积分。
★★★★⏱ 12 min
曲线间面积、旋转体体积
应用积分计算曲线间面积和旋转体的体积。
★★★★⏱ 11 min
一阶微分方程：欧拉法
使用数值欧拉法近似求解微分方程。
★★★⏱ 10 min
微分方程的变量分离法
学习解析变量分离法求解一阶微分方程。
★★★⏱ 10 min
增长、衰减和逻辑模型的微分方程
应用微分方程对现实世界的人口增长、衰减和有限逻辑增长建模。
★★★★⏱ 12 min
2. 常见陷阱
错误做法:
求解不定积分和微分方程通解时忘记积分常数
原因:
这是常见的考试错误，会让你丢失本应轻松拿到的方法分和准确度分
正确做法:
每次计算不定积分结果都要加上+C，微分方程通解中也要保留常数
错误做法:
对复合函数求导时混淆乘积法则和链式法则
原因:
会导致问题后续所有步骤的导数计算都出错
正确做法:
确认你是在处理两个独立函数相乘（用乘积法则）还是一个函数嵌入另一个函数的复合（用链式法则）
错误做法:
建立旋转体体积积分时忘记对函数平方
原因:
即使积分计算正确，错误的积分设定也会导致最终体积结果错误
正确做法:
记住 ，积分前一定要对半径函数平方
3. 速查表
概念 | 核心公式/法则 |
|---|---|
导数的极限定义 | |
链式法则 | |
微积分基本定理 | 其中 |
分部积分法 | |
旋转体体积（绕x轴） | |
二阶导数测试 | 若 ： = 极小值， = 极大值 |
变量分离法 | 适用于 |
逻辑微分方程模型 | 其中 = 增长率， = 环境容纳量 |
下一步
你可以从第一个子主题开始学习本单元，它从极限出发构建了导数的概念基础，是后续所有微积分主题的基础。完成本单元所有子主题后，你可以进入IB AI HL下一个核心单元，专注于统计与概率。