增长、衰减和逻辑模型的微分方程

IB 数学应用与解释 HL· 第4单元: 微积分· 15 分钟阅读

1. 指数增长模型★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

指数增长

\frac{dP}{dt} = kP, \quad k>0

某一量的瞬时变化率与该量当前大小成正比的增长方式，适用于增长资源无限的情况。

例:

无限制实验室环境中的细菌生长

这是一个可分离变量微分方程，可以显式求解得到通式 $P (t) = P_{0} e^{k t}$ ，其中 $P_{0} = P (0)$ 是初始量。

📐 例题

一个细菌种群呈指数增长。在 $t = 0$ 时，有100个细菌。2小时后，有500个细菌。求增长常数 $k$ ，并预测5小时后的种群数量，结果保留3位有效数字。

1
写出带初始条件的微分方程：
2
$\frac{dP}{dt} = kP, \quad P(0) = 100$
3
分离变量并对两边积分：
4
$\int \frac{1}{P} dP = \int k dt \implies \ln|P| = kt + C$
5
两边取指数得到通解，其中 $A = e^{C}$ ：
6
$P(t) = Ae^{kt}$
7
代入初始条件 $P (0) = 100$ 求 $A$ ：
8
$100 = Ae^{0} \implies A = 100$
9
利用第二个条件 $P (2) = 500$ 求解 $k$ ：
10
$500 = 100e^{2k} \implies \ln 5 = 2k \implies k = \frac{\ln 5}{2} \approx 0.805$
11
计算 $t = 5$ 时的种群数量：
12
$P(5) = 100e^{0.805 \times 5} \approx 100e^{4.025} \approx 5620$

Exam tip:

除非题目另有说明，否则始终将常数保留3位有效数字，这是IB考试的标准要求。

2. 指数衰减与半衰期★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

半衰期

发生指数衰减的量减少到其初始值一半所需的时间。对于任何指数衰减过程，半衰期都是恒定的，与初始量无关。

例:

不稳定同位素的放射性衰变

对于指数衰减，微分方程带有负号以表示量随时间减少： $\frac{d N}{d t} = - k N$ ，其中 $k > 0$ 是衰减常数。

📐 例题

碳-14的半衰期为5730年。一份样品初始含有10g碳-14。10000年后还剩下多少碳-14，结果保留3位有效数字？

1
写出带初始条件的衰减模型：
2
$\frac{dN}{dt} = -kN, \quad N(0) = 10 \implies N(t) = 10e^{-kt}$
3
利用半衰期求 $k$ ：
4
$N(5730) = 5 = 10e^{-k(5730)} \implies \ln(0.5) = -5730k \implies k = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.210 \times 10^{-4}$
5
代入 $t = 10000$ 计算：
6
$N(10000) = 10e^{-(1.210 \times 10^{-4})(10000)} = 10e^{-1.21} \approx 2.98$
7
最终答案：剩余碳-14为2.98 g。

3. 逻辑增长模型★★★☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

📘 定义

逻辑微分方程

\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)

考虑资源有限的种群增长模型，其中 $r$ 是内禀增长率（种群规模较小时的增长率）， $K$ 是环境容纳量（最大可持续种群规模）。

例:

受限栖息地中的野生动物种群

初始种群为 $P_{0}$ 时，逻辑微分方程的通解为： $P (t) = \frac{K}{1 + A e ^{- r t}}$ ，其中 $A = \frac{K - P _{0}}{P _{0}}$ 。

📐 例题

森林中的鹿群服从逻辑增长，环境容纳量为1000，内禀增长率为每年0.1。2020年的初始种群数量为200。预测2030年的种群数量，结果保留到整数。

1
确定参数： $K = 1000$ , $r = 0.1$ , $P_{0} = 200$ , $t = 10$ 年
2
计算常数 $A$ ：
3
$A = \frac{K - P_0}{P_0} = \frac{1000 - 200}{200} = 4$
4
代入通解：
5
$P(t) = \frac{1000}{1 + 4e^{-0.1t}}$
6
代入 $t = 10$ 计算：
7
$P(10) = \frac{1000}{1 + 4e^{-1}} \approx \frac{1000}{2.4716} \approx 405$

✓ 快速检测

测试你对逻辑增长的理解：

当 $P = K$ 时， $\frac{d P}{d t}$ 的值是多少？
- A) $r K$
- B) $0$
- C) $r$
- D) $\frac{r K}{2}$
显示答案
B —
当 $P = K$ 时， $1 - \frac{P}{K} = 0$ ，因此增长率为零，种群会稳定在环境容纳量。

4. 模型参数解释★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

IB考试非常频繁地要求你结合场景解释参数的含义，而不只是计算数值。这在拓展回答题中占多个分值，因此正确表述你的答案非常重要。

📐 例题

一个城市的人口建模为 $\frac{d P}{d t} = 0.02 P (1 - \frac{P}{5000000})$ ，其中 $P$ 是人口数量， $t$ 是年份，单位为年。结合场景解释 $0.02$ 和 $5000000$ 的含义。

1
回顾标准逻辑形式 $\frac{d P}{d t} = r P (1 - \frac{P}{K})$
2
解释 $r = 0.02$ ：这是内禀增长率。当种群规模很小时，人口的瞬时增长率为每年2%。
3
解释 $K = 5000000$ ：这是环境容纳量。该模型预测该城市的最大可持续人口为500万人。

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记在指数衰减微分方程中加负号，导致得到递增而非递减的量。

原因:

混淆了增长和衰减的记号，得到完全相反的结果，丢失所有分数。

正确做法:

始终将衰减写为 $\frac{d N}{d t} = - k N$ 且 $k > 0$ ，这样量会随时间减少。

错误做法:

在通过初始条件求常数之前先求解增长/衰减常数，导致结果错误。

原因:

急于进行代数运算，颠倒了解题步骤顺序。

正确做法:

始终先通过初始条件 $P (0) = P_{0}$ 求出常数 $A$ ，再使用第二个数据点求 $k$ 或 $r$ 。

错误做法:

将逻辑模型中的 $r$ 解释为任何种群规模下的实际增长率。

原因:

混淆了内禀增长率（小规模种群时的增长率）和当前实际增长率。

正确做法:

记住 $r$ 仅当种群规模很小时才是增长率，实际增长率取决于当前种群规模。

错误做法:

对有明确最大规模限制的种群使用指数增长模型。

原因:

过度泛化指数模型，忘记指数增长假设资源无限。

正确做法:

如果题目提到最大可持续种群或资源有限，使用逻辑模型而非指数模型。

6. 速查表

模型	微分方程	通解	关键参数
指数增长	$\frac{d P}{d t} = k P, k > 0$	$P (t) = P_{0} e^{k t}$	$k$ = 增长常数, $P_{0}$ = 初始量
指数衰减	$\frac{d N}{d t} = - k N, k > 0$	$N (t) = N_{0} e^{- k t}$	半衰期 $t_{1/2} = \frac{l n 2}{k}$
逻辑增长	$\frac{d P}{d t} = r P (1 - \frac{P}{K})$	$P (t) = \frac{K}{1 + A e ^{- r t}}, A = \frac{K - P _{0}}{P _{0}}$	$r$ = 内禀增长, $K$ = 环境容纳量

7. 常见问题

考试中我需要推导通解吗？

不需要，你可以记住标准通解形式，但当题目要求求解微分方程时，你必须写出完整的分离变量步骤才能得满分。

什么时候该用逻辑模型，什么时候该用指数模型？

无限增长或简单衰减使用指数增长/衰减模型，当该量存在已知上限（例如最大种群规模）时使用逻辑增长模型。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

本子主题建立在你对可分离变量微分方程和基础积分的知识之上，是IB AI HL试卷2拓展回答题中频繁考察的微积分建模部分的核心。如果你选择完成以建模为核心的内部评估项目，掌握这些模型也非常有用。掌握增长、衰减和逻辑模型后，你可以学习更高级的微分方程主题，包括无法解析求解的微分方程的数值解法，以及建模在真实场景中的进一步应用。