定积分与曲线下面积

IB 数学应用与解释 HL· 主题5：微积分，5.8 定积分与面积· 15 分钟阅读

1. 定积分：定义与计算★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

定积分

\int_a^b f(x) \, dx

函数f(x)从下限a到上限b的定积分通过微积分基本定理计算，结果为数值而非函数。

例:

\int_2^4 2x , dx = [x^2]_2^4 = 16 - 4 = 12

微积分基本定理（FTC）第二部分告诉我们，如果 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的原函数，即 $F^{'} (x) = f (x)$ ，那么：

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

📐 例题

计算定积分 $\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 2 x) d x$

1
首先求被积函数的一般原函数。积分常数在定积分中会抵消，因此可以省略。
2
$\int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2$
3
将原函数写在方括号中，标记上下限：
4
$[x^3 + x^2]_1^3$
5
代入上限计算，再减去代入下限的结果：
6
$(3^3 + 3^2) - (1^3 + 1^2) = (27 + 9) - (1 + 1) = 34$

2. 净面积 vs 总面积★★★☆☆⏱ 4 min

考试中常见的混淆点是定积分的值（净面积）和曲线与x轴之间的总几何面积之间的区别。

📘 定义

净面积

定积分的值将x轴上方的面积计为正，x轴下方的面积计为负，得到的就是带符号的净面积。

📘 定义

总面积

总几何面积是每个带符号区域绝对值的和，因此无论相对于x轴的位置如何，所有面积都计为正值。

✓ 快速检测

测试你对净面积和总面积区别的理解：

$\int_{- 2}^{2} x d x$ 的值（净面积）是多少？
- 0
- 2
- 4
- -4
显示答案
0 —
正确！0到2之间x轴上方的面积与-2到0之间x轴下方的负面积抵消，因此净面积为0，总几何面积为4。

3. 计算曲线与x轴之间的总面积★★★☆☆⏱ 6 min

要计算 $y = f (x)$ 、x轴、 $x = a$ 和 $x = b$ 之间的总几何面积，请遵循以下3步流程：

找出 $f (x)$ 在 $a$ 和 $b$ 之间的所有x截距
将区间按相邻截距拆分为子区间
取每个子积分的绝对值后相加

📐 例题

求 $x = - 2$ 到 $x = 2$ 之间 $y = x$ 与x轴之间的总几何面积。

1
找到拆分区间的x截距： $y = x$ 在 $x = 0$ 处穿过x轴，因此拆分为 $[- 2, 0]$ 和 $[0, 2]$ 。
2
计算每个子区间上的积分：
3
$\int_{-2}^0 x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^0 = 0 - 2 = -2$
4
$\int_0^2 x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^2 = 2 - 0 = 2$
5
取每个结果的绝对值后相加得到总面积：
6
$|-2| + |2| = 2 + 2 = 4$

4. 实际应用★★★☆☆⏱ 5 min

定积分和面积计算在IB AI HL的实际建模问题中非常常见。例如，速度-时间图像下的净面积给出总位移，而总面积给出总路程。

📐 例题

一个球被竖直上抛，速度为 $v (t) = 20 - 10 t$ m/s，其中 $t$ 是抛出后的时间（秒）。求球在 $t = 0$ 到 $t = 3$ 秒之间运动的总路程。

1
找到速度变号的位置：令 $v (t) = 0$ → $20 - 10 t = 0$ → $t = 2$ 秒。拆分为 $[0, 2]$ （向上运动，速度为正）和 $[2, 3]$ （向下运动，速度为负）。
2
对每个区间积分：
3
$\int_0^2 (20 - 10t) dt = [20t - 5t^2]_0^2 = 20$
4
$\int_2^3 (20 - 10t) dt = [20t - 5t^2]_2^3 = -5$
5
相加绝对值得到总路程：
6
$|20| + |-5| = 25 \text{ 米}$

5. 数值积分：梯形法则★★★☆☆⏱ 6 min

当函数难以或无法精确积分，或者你手上只有一张数据值表格时，仍然可以对定积分做数值估计。梯形法则（trapezoidal rule）是 IB AI 的招牌数值方法，它用一系列梯形而不是矩形来近似曲线下的面积。

📘 定义

梯形法则

\int_a^b y \, dx \approx \frac{h}{2}\left(y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\right)

将 $[a, b]$ 分成 $n$ 个等宽的条带，每个宽度 $h = \frac{b - a}{n}$ ，得到纵坐标 $y_{0}, y_{1}, \dots, y_{n}$ 。每个条带用一个梯形近似；两端纵坐标各计一次，所有内部纵坐标各计两次。

例:

分成 4 个条带需要 5 个纵坐标 $y_{0}, y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ ，其中内部纵坐标 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 要加倍。

📐 例题

用 4 个条带的梯形法则估计 $\int_{0}^{2} 1 + x^{3} d x$ ，结果保留 3 位有效数字。

1
求条带宽度： $h = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$ ，因此 x 值为 $0, 0.5, 1, 1.5, 2$ 。
2
在每个 x 值处计算纵坐标 $y = 1 + x^{3}$ ：
3
$y_0 = 1, \ y_1 = 1.0607, \ y_2 = 1.4142, \ y_3 = 2.0917, \ y_4 = 3$
4
应用公式，将内部纵坐标 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 加倍：
5
$\int_0^2 \sqrt{1+x^3}\,dx \approx \frac{0.5}{2}\left(1 + 3 + 2(1.0607 + 1.4142 + 2.0917)\right)$
6
$= 0.25\left(4 + 2(4.5666)\right) = 0.25(13.133) \approx 3.28$

✓ 快速检测

测试你对梯形法则的理解：

用 5 个等宽条带的梯形法则估计积分，需要多少个纵坐标（y 值）？
- 5
- 6
- 10
显示答案
6 —
正确！ $n$ 个条带需要 $n + 1$ 个纵坐标，因此 5 个条带需要 6 个 y 值：从 $y_{0}$ 到 $y_{5}$ 。

6. 常见陷阱

错误做法:

计算总面积时忘记在x截处分拆积分

原因:

在整个区间上积分会让负面积抵消正面积，得到的是净面积而非总面积

正确做法:

先找出区间内所有x截距，将积分拆分为多个子区域，再相加各部分的绝对值

错误做法:

假设定积分的值总是等于几何面积

原因:

定积分给出带符号的净面积，即使总面积为正，净面积也可以是零或负数

正确做法:

检查题目表述：如果题目要求面积，指的是总正几何面积

错误做法:

计算定积分时代入 $F (a) - F (b)$ 而非 $F (b) - F (a)$

原因:

交换上下限会翻转结果的符号，导致答案错误，通常会得到负面积

正确做法:

始终用原函数在上限的值减去原函数在下限的值

错误做法:

计算总面积时忘记对负的子积分取绝对值

原因:

保留负面积会减小最终总和，导致结果错误

正确做法:

相加前对每个子积分取绝对值，得到总面积

7. 速查表

概念	公式/方法
定积分（微积分基本定理）	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} (x) = f (x)$
净面积（积分值）	x轴上方面积减去x轴下方面积
总几何面积	Sum of $\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x$ for each interval between intercepts
x轴上方面积	$\int_{a}^{b} f (x) d x, f (x) \geq 0$
x轴下方面积	$- \int_{a}^{b} f (x) d x, f (x) \leq 0$

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syllabusIB AI HL 官方大纲完整主题学习目标

下一步

现在你已经掌握了定积分和曲线下面积，你已经为IB AI HL中所有高级积分应用打下了核心基础。定积分用于计算旋转体体积、函数的平均值，以及建模问题中人口增长或能源使用等累积量。在内部评估和考试中处理实际数据和函数时，理解净面积和总面积的区别对于解读积分结果也至关重要。你现在可以将技能拓展到IB考试中经常出现的更复杂的积分场景了。