换元积分法

IB 数学 AI HL· 20 分钟阅读

1. 不定积分与定积分的u换元法★★☆☆☆⏱ 8 min

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📘 定义

逆转链式法则的技巧，通过改变积分变量简化被积函数，从而对复合函数进行积分。

例:

$\int 2 x cos (x^{2}) d x$

应用u换元法时，选择 $u$ 为复合项的内层函数。 $u$ 的导数应能消去原被积函数中的一项。对于定积分，你必须调整积分限以匹配新变量 $u$ 。

📐 例题

计算 $\int_{1}^{2} 2 x e^{x^{2}} d x$

Exam tip:

始终通过对原函数求导来验证结果，确认其与原被积函数一致。

错误做法:

对定积分做u换元时忘记调整积分限

原因:

你最终会用原限计算错误的表达式，得到错误结果

正确做法:

定义 $u$ 后立即计算 $u$ 的新上下限，全程用 $u$ 计算积分

错误做法:

不定积分中省略积分常数 $C$

原因:

原函数是一族函数，省略 $C$ 会在考试中失分

正确做法:

任何不定积分的最终结果都要加上 $+ C$

技巧	核心法则/公式	适用场景
u换元法	$\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u$ , $u = g (x)$	复合函数，函数×导数
定积分u换元	更换u的积分限，直接计算	无需回代为x

掌握u换元法是IB AI HL积分应用的基础。这些技能是计算曲线间面积、旋转体体积以及求解可分离微分方程所必需的，这些内容都占考试分数的很大比例。多加练习识别何时可以用换元法简化被积函数，是备考这些考题的最佳方法。