数与代数 (AI HL) (Number and Algebra (AI HL)) — IB Math AI HL AI HL 学习指南

适合谁：IB Math AI HL 参加 IB Math: Applications & Interpretation HL 的考生。

覆盖内容：近似与百分比误差、数列与级数应用、指数与对数模型、技术辅助解方程组、HL专属矩阵应用五大核心子主题。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学；熟悉应用题与计算工具。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AI HL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是数与代数 (AI HL)？

数与代数是IB Math AI HL的核心基础模块，占整个考纲分值的15%-20%，是所有定量建模、应用题、后续统计与金融数学章节的计算基础。该模块最大的特点是实用性极强，几乎所有考点都会结合真实场景出题，允许考生使用图形计算器(GDC)完成复杂计算，核心考察你把实际问题转化为代数模型、结合工具求解的能力。

2. 近似与百分比误差 (Approximation and percentage error)

在真实测量、简化计算时，我们通常会用到近似值(approximate value) $v_A$，它和理论上的精确值(exact value) $v_E$ 的偏差就是误差，考试最常考的是百分比误差(percentage error)，公式为： $$\epsilon =\left|\frac{v_A-v_E}{v_E}\right|\times 100\%$$ 公式中的绝对值保证误差始终为正，分母必须为精确值，不能和近似值搞反。

范例

某零件的设计精确长度为4.62cm，工人用卡尺测量得到的近似值为4.6cm，按3位有效数字记录结果，求百分比误差。 解答：代入公式得 $\epsilon =\left|\frac{4.6-4.62}{4.62}\right|\times 100\%\approx 0.433\%$。 考点提示：考官常结合有效数字、四舍五入规则出题，注意先按题目要求算出近似值后代入公式。

3. 数列与级数应用 (Sequences and series — applications)

该考点是AI HL高频应用题考点，分为两类核心数列：

1. 等差数列(arithmetic sequence)：相邻两项差值（公差$d$）固定，通项公式为 $u_n=u_1+(n-1)d$，前$n$项和为 $S_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)$，适用于固定增量场景，如固定年薪涨幅、固定健身增量等。
2. 等比数列(geometric sequence)：相邻两项比值（公比$r$）固定，通项公式为 $u_n=u_1{r}^{n-1}$，前$n$项和为 $S_n=u_1\frac{r^n-1}{r-1}(r\ne 1)$，当$|r|<1$时存在无穷和(infinite sum) $S_{\infty }=\frac{u_1}{1-r}$，适用于复利、细菌繁殖、资产折旧等场景。

范例

你存入10000元初始本金，银行年利率为4%按年复利，每年年底再存入5000元，求第8年末的账户总金额。 解答：初始本金8年后的终值为$10000\times 1.04^8\approx 13685.69$元，每年存入的5000元年金终值为$5000\times \frac{1.04^8-1}{0.04}\approx 46071.41$元，总金额为$13685.69+46071.41=59757.1$元（保留3位有效数字）。

4. 指数与对数模型 (Exponential and log models)

该考点是核心建模考点，通用形式如下：

• 指数模型：$y=k{a}^{bx}+c$，当$a>1$时为增长模型，$0<a<1$时为衰减模型，最常用的自然指数形式为$y=k{e}^{rx}$，$r$为增长率/衰减率，适用于人口增长、放射性元素衰减等场景。
• 对数模型：$y=k\ln (ax+b)+c$，适用于增速逐渐放缓的场景，如学习曲线、产品市场渗透率等。 高频技巧：对于幂函数模型$y=k{x}^n$，两边取自然对数可得$\ln y=n\ln x+\ln k$，转化为线性关系后可通过线性回归求参数。

范例

某放射性元素的质量衰减符合模型$M(t)=80e^{-0.02t}$，$t$单位为年，求该元素的半衰期（质量衰减到初始值一半的时间）。 解答：初始质量为80g，半衰期时质量为40g，代入得$40=80e^{-0.02t}$，化简得$\ln 0.5=-0.02t$，解得$t=\frac{\ln 2}{0.02}\approx 34.7$年。

5. 技术辅助解方程组 (Solving systems with technology)

AI HL允许使用GDC求解任意线性、非线性方程组，不需要手动计算复杂的行变换或迭代求解，核心要求是你能正确建立方程组、输入GDC得到结果并验证合理性。

范例

求解如下三元一次方程组： $$ \begin{cases} 3x + 2y - z = 7 \ x - 4y + 2z = -3 \ 2x + y + 3z = 12 \end{cases} $$ 解答：将方程组输入GDC的方程求解功能，直接得到解为$x=1,y=2,z=0$，代入原方程验证成立即可。 考点提示：即使是用GDC求解，也要在答题卡上写出你建立的完整方程组，只写结果会被扣过程分。

6. 矩阵（HL专属）应用 (Matrices (HL only) — applications)

矩阵是AI HL独有的考点，核心考察3类应用：

1. 线性方程组求解：系数矩阵为$A$，变量向量为$X$，常数向量为$B$，则$AX=B$，当$A$可逆时解为$X=A^{-1}B$。
2. 马尔可夫链(Markov chain)：转移矩阵(transition matrix) $P$的元素$P_{ij}$表示从状态$i$转移到状态$j$的概率，$n$步后的状态向量为$S_n=S_0{P}^n$，$S_0$为初始状态向量。
3. 投入产出模型(input-output model)：里昂惕夫矩阵为$I-A$，$A$为技术系数矩阵，总产出$X$满足$X=AX+D$，$D$为最终需求，因此$X=(I-A{)}^{-1}D$。

范例

天气转移矩阵$P=\left[\begin{array}{cc}0.7& 0.3\\ 0.2& 0.8\end{array}\right]$，状态1为晴天、状态2为雨天，初始状态$S_0=[0.8,0.2]$，求2天后是晴天的概率。 解答：先计算$P^2=\left[\begin{array}{cc}0.55& 0.45\\ 0.3& 0.7\end{array}\right]$，再计算$S_2=S_0{P}^2=[0.8\times 0.55+0.2\times 0.3,0.8\times 0.45+0.2\times 0.7]=[0.5,0.5]$，因此2天后晴天的概率为0.5。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：计算百分比误差时把近似值和精确值搞反，或者漏写绝对值，得到负的误差。原因：记混公式的分子分母顺序，忽略误差的非负要求。正确做法：严格按公式，分母必须是精确值，加上绝对值符号。
2. 错误：等比数列无穷和不验证$|r|<1$就直接套公式。原因：看到“无穷”就默认可以用无穷和公式。正确做法：用无穷和之前先确认公比绝对值小于1，否则无穷和不存在。
3. 错误：转移矩阵的行和列搞反，导致状态计算完全错误。原因：记混转移方向的定义。正确做法：AI HL中转移矩阵的行是当前状态、列是下一个状态，状态向量为行向量，用$S_n=S_0{P}^n$计算。
4. 错误：用GDC解方程组只写结果，不写建立的方程组。原因：觉得用计算器不需要写过程。正确做法：至少写出完整的方程组，说明用GDC求解得到结果，保证过程分不丢失。

8. 练习题 (IB Math AI HL 风格)

题1

某商品的进价精确值为1268元，商家按3位有效数字定价，求定价相对于进价的百分比误差。 解答：3位有效数字的定价为1270元，代入百分比误差公式得$\epsilon =\left|\frac{1270-1268}{1268}\right|\times 100\%\approx 0.158\%$。

题2

某城市初始人口为150万，年自然增长率为1.5%，每年流入人口4万，求12年后的总人口（保留3位有效数字）。 解答：初始人口12年后的规模为$150\times 1.015^{12}\approx 179.2$万，流入人口的终值为$4\times \frac{1.015^{12}-1}{0.015}\approx 52.5$万，总人口约为232万。

题3

转移矩阵$P=\left[\begin{array}{ccc}0.6& 0.3& 0.1\\ 0.1& 0.7& 0.2\\ 0.2& 0.2& 0.6\end{array}\right]$，初始状态$S_0=[0.5,0.3,0.2]$，求3步后处于状态3的概率（保留3位有效数字）。 解答：用GDC计算$P^3$后乘以$S_0$，得到$S_3=[0.322,0.437,0.241]$，因此状态3的概率为0.241。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

数与代数是IB Math AI HL的基础模块，后续的金融数学、统计建模、微分方程、图论等章节都会用到本章节的数列、矩阵、指数模型等知识点，熟练掌握本章节的建模思路和计算技巧，能大幅降低后续内容的学习难度。 如果你在刷题过程中遇到任何考点困惑、真题不会解，都可以随时到小欧主页提问，我们会为你提供针对性的讲解和备考建议。