IB Math AI HL 几何与三角学 — 完整学习指南

适用对象：备考 IB Mathematics AI HL 的中国学生。

本章覆盖：IB AI HL Topic 3 — 坐标几何、正弦/余弦定理、三角形面积、3D 距离与角度、Voronoi 图、向量、图论（HL 拓展）、应用导向例题。

前置知识：基础三角、勾股定理。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 IB AI HL 风格原创的教学题。

1. 为什么 AI HL 几何与三角重要

Topic 3 是 AI HL 5 大 syllabus 之一。"AI" 代表应用导向 — 几何题涉及真实地图、测量、导航、GPS 距离。约 18-22% 的 IBO 评估涉及 Topic 3（Paper 1、Paper 2、IA modelling 中分布）。

HL 拓展（SL 没有）：向量、图论、邻接矩阵、图的转移矩阵。

2. 三角形三角学

任意三角形，边 $a,b,c$ 对角 $A,B,C$：

正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。AAS、ASA、SSA 时用。

余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。SAS、SSS 时用。

面积：$\text{Area}=\frac{1}{2}ab\sin C$。

SSA 歧义：给两边及非夹角时可能 0、1 或 2 个三角形。检查两个可能角度是否合理。

3. 3D 几何

$(x_1,y_1,z_1)$ 与 $(x_2,y_2,z_2)$ 距离： $$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

线与平面、两平面之间的角度通常需构造垂直投影。先画图、再在直角三角形里用三角。

标准立体体积考试给出公式：圆锥 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$、球 $\frac{4}{3}\pi r^3$ 等。

4. Voronoi 图（AI 特色）

Voronoi 图按到一组「site」点的距离把平面分成区域。每个区域包含距某 site 最近的所有点。

构造步骤：

1. 对每对 site，画连线段的垂直平分线。
2. 每个 cell 是半平面交集 — 距其 site 最近的区域。

AI HL 常考：把客户分配到最近门店、新店选址最大化市场份额、划分应急响应区域。

5. 向量（HL 拓展）

位置向量 of $P$：$\overrightarrow{OP}$。

两点向量：$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$。

模：$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$。

点积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。

用点积求向量夹角：$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

直线向量方程：$\vec{r}=\vec{a}+t\vec{d}$，$\vec{a}$ 是直线上一点，$\vec{d}$ 是方向向量。

6. 图论（HL 拓展）

图有顶点（节点）与边（连接）。关键概念：

• 度：与顶点相连的边数。
• 路径：连接顶点的边序列。
• 环：起点终点同一顶点的路径。
• 树：无环连通图。
• 邻接矩阵：$A_{ij}=1$ 若 $i$ 到 $j$ 有边，否则 0。

矩阵幂 $A_{ij}^n$ 给出从 $i$ 到 $j$ 长度恰好为 $n$ 的路径数。这是 IB AI HL Paper 2 高频题型。

最小生成树（Prim 或 Kruskal 算法）：找连通所有顶点的、总边权最小的树。用于电缆铺设、道路规划。

7. 例题精讲

三个无线电塔 $A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(4,6)$ 在平面地图上（km）。

(a) 用余弦定理求角 $BAC$。 (b) 用正弦定理求边 $BC$ — 用距离公式验证。 (c) 求线段 $AB$ 上距 $C$ 最近、且与 $A,B$ 等距的点。

解答。

(a) $|AB|=8$、$|AC|=\sqrt{52}\approx 7.21$、$|BC|=7.21$。 余弦定理：$\cos A=(64+52-52)/(2\cdot 8\cdot 7.21)=0.554$，$A\approx 56.3°$。

(b) 距离公式：$|BC|=\sqrt{(8-4{)}^2+(0-6{)}^2}=\sqrt{52}=7.21$ ✓。

(c) $AB$ 的垂直平分线是 $x=4$。该线上距 $C(4,6)$ 最近的点就是 $C$ 自身，但 $C$ 不在线段 $AB$ 上。线段 $AB$ 上距 $C$ 最近的点是 $(4,0)$ — 由 $C$ 向 $AB$ 作垂线。$(4,0)$ 距 $A,B$ 各 4 km，等距。

8. 易错点

• 正弦定理 SSA 歧义：${\sin }^{-1}$ 计算器只返回锐角。检查钝角（180° − 该锐角）在其他约束下是否有效。
• 角度/弧度模式混淆：IB 卷可两者皆用。检查计算器模式。
• Voronoi 周边区域无界：外围 cell 延伸至无穷；只有内部 cell 是有界的。
• 向量算术：$\overrightarrow{AB}=B-A$（头减尾），不是 $A-B$。

9. 练习题

1. 三角形 $XYZ$ 中 $|XY|=12$、$|XZ|=9$、角 $X=50°$。求 $|YZ|$。
2. 三镇 $P,Q,R$ 在 $(0,0),(5,0),(3,4)$。构造包含 $P$ 的 Voronoi cell 并描述。
3. 向量 $\vec{a}=(3,4,0)$、$\vec{b}=(1,2,2)$。求 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 与夹角。

10. 速查表

• 正弦定理：$a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C$。
• 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
• 三角形面积：$\frac{1}{2}ab\sin C$。
• 3D 距离：$\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$。
• Voronoi：垂直平分线 → 最近 site 区域。
• 点积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。
• 邻接矩阵幂 $A^n$：长度 $n$ 路径数。

11. 下一步

AI HL 几何与三角紧密关联 Topic 4（统计） — 很多实际问题二者结合（调查面积 + 样本均值）。具体应用题可问小欧。