IB Math AI HL 微积分 — 完整学习指南

适用对象：备考 IB Mathematics AI HL 的中国学生。

本章覆盖：IB AI HL Topic 5 — 应用导数与变化率、积分求面积/体积、可分离与一阶微分方程、Euler 方法（HL 拓展）、应用最优化。

前置知识：函数（Topic 2）、基础极限。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 IB AI HL 风格原创的教学题。

1. 为什么 AI HL 微积分重要

Topic 5 占 AI HL 22-28%，最重 topic。"AI" 强调应用 — 抛体运动、增长/衰减、商业最优化、累积量。HL 拓展（AI SL 没有）：微分方程、Euler 方法、斜率场、复合/积/商法则的应用。

2. 应用导数

$y=f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$ 度量某点的变化率。在应用题中：

• $f^{\prime }(x)$ 是切线斜率；$f^{\prime }(x)>0$ 增、$f^{\prime }(x)<0$ 减。
• $f^{\prime \prime }(x)>0$ 凹上；$f^{\prime \prime }(x)<0$ 凹下。
• 极大：$f^{\prime }=0$ 且 $f^{\prime \prime }<0$；极小：$f^{\prime }=0$ 且 $f^{\prime \prime }>0$。

常见导数（必背）：

• $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$、$(\ln x{)}^{\prime }=1/x$
• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$、$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
• 链式法则：$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$
• 积法则：$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

3. 应用积分

定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 度量从 $a$ 到 $b$ 的累积总量。在应用题中：

• 正函数下方面积。
• 速度积分 = 总位移：$\int vdt$。
• 已知变化率求量的净变化。

常见原函数：

• $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（$n\ne -1$）
• $\int e^{x}dx=e^x+C$、$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$

旋转体体积：$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$（$y=f(x)$ 绕 x 轴）。

4. 微分方程（HL 拓展）

可分离 ODE：$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$。分离求解：$\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx$。

Euler 方法数值近似： $$y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)$$ $h$ 是步长。无解析解时使用。

斜率场：每点画一小段斜率 $dy/dx$ 的线段，可视化 ODE。解曲线沿这些线段。

5. 最优化

在 $[a,b]$ 上极值化 $f$：

1. 求 $f^{\prime }(x)$，找临界点（$f^{\prime }=0$ 或不存在处）。
2. 在每个临界点和端点求 $f$ 值。
3. 最大者是 max，最小者是 min。

应用题往往含其他变量约束 — 用约束把目标化为单变量再求导。

6. 例题精讲

某细菌种群 $\frac{dP}{dt}=0.5P(1-P/100)$，$P(0)=5$（千）。

(a) 验证这是承载力 100、增长率 0.5 的逻辑斯蒂模型。 (b) 用 Euler 方法、步长 $h=0.5$ 估算 $P(1.0)$。 (c) 找平衡点并判断稳定性。

解答。

(a) 标准逻辑斯蒂 $dP/dt=rP(1-P/K)$，$r=0.5$、$K=100$ ✓。

(b) $t=0$、$P=5$：$dP/dt=0.5(5)(0.95)=2.375$。$P(0.5)=5+0.5\cdot 2.375=6.19$。 $t=0.5$、$P=6.19$：$dP/dt=0.5(6.19)(0.9381)=2.904$。$P(1.0)=6.19+0.5\cdot 2.904=7.64$ 千。

(c) $dP/dt=0$ 时 $P=0$ 或 $P=100$。

• $P=0$：正扰动 $dP/dt>0$，远离 — 不稳定。
• $P=100$：正扰动 $dP/dt<0$（回归）；负扰动 $dP/dt>0$（回归）— 稳定。

7. 易错点

• 忘链式法则：$\frac{d}{dx}\sin (2x)=2\cos (2x)$，不是 $\cos (2x)$。
• $1/x$ 的原函数：是 $\ln |x|$，要绝对值。
• 旋转体积符号：函数取负时 $[f(x){]}^2$ 仍正 — 直接算即可。
• Euler 局部误差：每步 $O(h^2)$ 误差，全局累积 $O(h)$。$h$ 减半 → 误差减半。

8. 练习题

1. 汽车速度 $v(t)=6t-t^2$（$0\le t\le 6$，单位 m/s）。求最大速度、总位移、速度为最大一半时的时刻。
2. 解 $\frac{dy}{dx}=3y$，$y(0)=2$。
3. 用 Euler 方法、$h=0.2$ 估算 $y^{\prime }=x+y$、$y(0)=1$ 时的 $y(0.6)$。

9. 速查表

• $f^{\prime }$ 斜率；$f^{\prime \prime }>0$ 凹上。
• 幂次：$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$、$\int x^{n}dx=x^{n+1}/(n+1)+C$。
• 链式：$(f(g){)}^{\prime }=f^{\prime }(g)\cdot g^{\prime }$。
• 绕 x 轴体积：$\pi \int [f(x){]}^{2}dx$。
• 逻辑斯蒂 ODE：$dP/dt=rP(1-P/K)$；平衡点 0（不稳）和 $K$（稳）。
• Euler：$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$。

10. 下一步

AI HL 微积分紧密关联 Topic 4（统计） — 期望值是 $xf(x)$ 的积分。具体应用题可问小欧。