离散概率分布、期望与方差

IB 数学：分析与方法 SL· Unit 4: Statistics & Probability, Topic 6· 15 分钟阅读

1. 离散随机变量与有效分布★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

离散随机变量

$X$

取可数个不同值的变量，每个值对应一个随机结果。

例:

3次抛硬币中正面朝上的次数，每小时进入商店的顾客数量

离散概率分布由概率质量函数 (PMF) $p (x) = P (X = x)$ 描述，该函数给出随机变量取每个值 $x$ 的概率。一个有效的PMF必须满足两个核心条件：

所有概率满足 $0 \leq p (x) \leq 1$
所有概率之和等于 1: $\sum_{x} p (x) = 1$

📐 例题

随机变量 $X$ 的 PMF 为 $P (X = x) = k x$ ， $x = 1, 2, 3$ ，其他情况为 0。求使该分布有效的 $k$ 值。

1
利用所有概率之和必须等于 1 的条件：
2
$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
3
将 PMF 代入方程：
4
$k(1) + k(2) + k(3) = 1 \implies 6k = 1$
5
求解 $k$ ，然后检查所有概率都在 0 和 1 之间：
6
$k = \frac{1}{6}, \quad \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6} \in [0,1] \text{ 因此有效}$

Exam tip:

考试中被要求求常数 $k$ 时，一定要同时检查两个条件（和为1，所有概率在0到1之间）。

2. 离散分布的期望★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

期望值 (期望)

$E [X]$ or $μ$

随机变量在大量重复试验中的长期平均值，是按结果概率加权计算得到的加权平均值。

对于任意离散随机变量 $X$ ，期望用以下公式计算：

E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X=x)

📐 例题

对于有效分布 $P (X = x) = \frac{x}{6}$ ， $x = 1, 2, 3$ ，计算 $X$ 的期望值。

1
代入期望公式：
2
$E[X] = (1 \cdot \frac{1}{6}) + (2 \cdot \frac{2}{6}) + (3 \cdot \frac{3}{6})$
3
化简求和：
4
$E[X] = \frac{1 + 4 + 9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33$

3. 方差与标准差★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

方差

$Var (X)$ or $σ^{2}$

衡量分布在期望周围离散程度的指标，等于偏离均值的平方的期望。

对于IB考试，下面的计算公式几乎总是比定义式更快，且更不容易出错：

\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2, \quad E[X^2] = \sum_{x} x^2 P(X=x)

标准差 $σ = Var (X)$ 也是离散程度的衡量指标，单位与原变量 $X$ 一致。

📐 例题

已知 $E [X] = \frac{7}{3}$ ， $P (X = x) = \frac{x}{6}$ ， $x = 1, 2, 3$ ，计算 $X$ 的方差。

1
首先计算 $X^{2}$ 的期望 $E [X^{2}]$ ：
2
$E[X^2] = (1^2 \cdot \frac{1}{6}) + (2^2 \cdot \frac{2}{6}) + (3^2 \cdot \frac{3}{6}) = \frac{1 + 8 + 27}{6} = 6$
3
代入方差公式：
4
$\text{Var}(X) = 6 - \left(\frac{7}{3}\right)^2 = 6 - \frac{49}{9} = \frac{5}{9} \approx 0.56$

Exam tip:

如果时间不够，使用计算公式可以避免平方偏差计算错误。

4. 期望与方差的性质★★★☆☆⏱ 5 min

对于任意常数 $a$ 和 $b$ ，变换后的随机变量 $Y = a X + b$ 满足以下线性性质，这些性质在IB考试中被频繁考察：

$E [a X + b] = a E [X] + b$
$Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$

📐 例题

已知 $X$ 满足 $E [X] = 3$ 且 $Var (X) = 2$ ，求 $Y = 2 X - 4$ 的 $E [Y]$ 和 $Var (Y)$ 。

1
利用线性性质计算期望：
2
$E[2X - 4] = 2E[X] - 4 = 2(3) - 4 = 2$
3
计算方差，注意常数项会消失：
4
$\text{Var}(2X - 4) = 2^2 \text{Var}(X) = 4(2) = 8$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算 $Var (a X + b)$ 时忘记对缩放系数 $a$ 平方

原因:

方差衡量的是平方离散程度，因此用 $a$ 缩放时，方差变为原来的 $a^{2}$ 倍，而非 $a$ 倍

正确做法:

始终使用 $Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$ ，常数项 $b$ 会被完全消去

错误做法:

求常数 $k$ 时只检查概率和为1，忽略 $0 \leq p (x) \leq 1$ 的条件

原因:

求解得到的 $k$ 可能会产生负概率或大于1的概率

正确做法:

求出 $k$ 后，一定要验证所有单个概率都在0到1之间

错误做法:

将期望计算为 $x$ 值的未加权平均，忽略了它们的概率

原因:

将数据的样本均值与分布的期望值混淆

正确做法:

计算期望时，一定要先将每个 $x$ 乘以其概率再求和

错误做法:

记错方差公式，得到 $Var (X) = (E [X^{2}] - E [X])^{2}$

原因:

记错计算公式中平方的位置

正确做法:

平方只在第二项上： $Var (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$

错误做法:

期望必须是 $X$ 的可能取值之一

原因:

错误认为期望是一个可能结果，而非长期平均值

正确做法:

期望可以是不在 $X$ 样本空间中的非整数值，这完全合理

6. 速查表

概念	公式	考试提示
有效PMF	$0 \leq P (X = x) \leq 1$ , $\sum P (X = x) = 1$	检查两个条件
期望	$E [X] = \sum x P (X = x)$	结果的加权平均
方差	$Var (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$	考试使用该公式
$E [X^{2}]$	$E [X^{2}] = \sum x^{2} P (X = x)$	计算方差的中间步骤
线性期望性质	$E [a X + b] = a E [X] + b$	对任意常数恒成立
线性方差性质	$Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$	常数 $b$ 不改变方差

7. 常见问题

在AA SL中我需要计算连续分布的期望和方差吗？

不需要，IB AA SL只要求你计算离散概率分布的期望和方差。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
6分方差计算题
2022 · 2
5分变换后X的期望计算题
2021 · 1
4分有效分布验证题

深入阅读

syllabus官方IB AA SL教学大纲完整的第4单元学习目标

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本子主题为你接下来在IB AA SL中学习的所有命名离散概率分布（包括二项分布和泊松分布）奠定了基础。你在这里学到的期望和方差规则可以直接应用于这些分布，你可以用它们推导出命名分布的标准公式。这些概念也构成了统计推断的基础，在统计推断中你会使用样本统计量估计未知总体参数（如真实总体均值）。掌握这些计算方法是IB AA SL考试试卷1和试卷2中几乎所有概率题的要求。