二项概率分布

IB 数学 AA SL· 5 分钟阅读

1. 二项分布的条件★★☆☆☆⏱ 20 min

📘 定义

二项随机变量

$X \sim B (n, p)$ ，其中 $n$ = 试验次数， $p$ = 单次试验成功的概率

一种离散随机变量，用于统计随机试验中固定次数的独立相同试验里成功结果的数量。

📐 例题

判断以下场景是否符合二项分布：抛一枚不均匀硬币， $P (heads) = 0.6$ ，抛15次，统计得到正面的次数。如果符合二项分布，写出 $n$ 和 $p$ 。

1
逐一检查BINS的四个条件：
2
1. 二元：每次抛硬币只有两种结果：正面（成功）或反面（失败）。条件满足。
3
1. 独立：一次抛硬币的结果不会改变其他抛硬币的概率。条件满足。
4
1. 试验次数固定： $n = 15$ ，是固定值。条件满足。
5
1. 概率恒定：所有抛硬币试验的 $p = 0.6$ 。条件满足。
6
结论：这是一个二项分布，参数为：
7
$n = 15, \quad p = 0.6$

✓ 快速检测

以下哪个场景符合二项分布？

抛均匀骰子10次，统计掷出6点的次数
- 是，符合二项分布
- 否，不符合二项分布
调查50个人每周锻炼的时长
- 是，符合二项分布
- 否，不符合二项分布
显示答案
1 —
正确：结果不是二元的，因此不符合二项分布。

2. 二项概率公式★★★☆☆⏱ 25 min

📘 定义

二项概率质量函数

在 $n$ 次独立试验中恰好得到 $k$ 次成功的概率由以下公式给出。

例:

用于计算精确值 $k$ 对应的 $P (X = k)$

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

📐 例题

若 $X \sim B (4, 0.25)$ ，求 $P (X = 2)$ 。

1
确定参数： $n = 4$ , $k = 2$ , $p = 0.25$ , $1 - p = 0.75$
2
计算二项式系数：
3
$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6$
4
代入二项概率公式：
5
$P(X=2) = 6 \times (0.25)^2 \times (0.75)^2$
6
化简并保留三位有效数字：
7
$P(X=2) = 0.211$

3. 期望与方差★★☆☆☆⏱ 20 min

对于任意二项分布，我们可以使用推导得到的简单公式计算期望（均值）和方差，不需要对 $X$ 的所有可能值求和。

📘 定义

二项分布参数

对于 $X \sim B (n, p)$ ，期望（均值）和方差由以下简单公式给出：

期望： $E (X) = n p$
方差： $Var (X) = n p (1 - p)$
标准差： $σ = n p (1 - p)$

📐 例题

一名篮球运动员罚球命中的概率为0.8，各次罚球相互独立。如果她罚10次，求命中次数的期望和标准差。

1
定义随机变量：设 $X$ = 命中次数， $X \sim B (10, 0.8)$
2
计算命中次数的期望：
3
$E(X) = np = 10 \times 0.8 = 8$
4
先计算方差：
5
$\text{Var}(X) = np(1-p) = 10 \times 0.8 \times 0.2 = 1.6$
6
计算标准差，保留三位有效数字：
7
$\sigma = \sqrt{1.6} \approx 1.26$

4. 累积二项概率问题★★★★☆⏱ 25 min

✓ 计算器

大多数IB考题要求计算累积概率，例如“最多3次成功”或“至少5次成功”，而不是恰好 $k$ 次成功的概率。你可以通过累加单个概率得到结果，也可以直接使用GDC的累积二项分布功能计算。

📐 例题

某群体中70%的选民支持一项新政策。如果随机抽取12名选民，求至少有8名选民支持该政策的概率，结果保留三位有效数字。

1
定义随机变量：设 $X$ = 支持该政策的人数， $X \sim B (12, 0.7)$
2
将“至少8名”改写为不等式： $X \geq 8$ ，整理为累积概率形式：
3
$P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7)$
4
使用GDC得到累积概率 $P (X \leq 7) \approx 0.3487$
5
计算最终结果：
6
$P(X \geq 8) = 1 - 0.3487 \approx 0.651$

5. 常见陷阱

错误做法:

从小总体无放回抽样时，默认任意成功计数都符合二项分布

原因:

各试验不独立，因为取出一个样本会改变下一次试验的概率

正确做法:

对小总体使用超几何分布，仅当样本量小于总体的10%时才近似为二项分布

错误做法:

计算“至少k次成功”时，错误得到 $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k)$

原因:

这是边界错位错误，会错误包含或排除边界值

正确做法:

始终明确重写不等式： $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$

错误做法:

计算期望时混淆 $p$ 和 $1 - p$

原因:

混淆了你统计的结果对应的成功概率和失败概率

正确做法:

$E (X) = n \times p$ ，其中 $p$ 是你统计的结果对应的概率，无论该结果是否被标记为"成功"

错误做法:

将二项随机变量当作连续变量处理

原因:

将二项分布和用于近似的正态分布混淆

正确做法:

二项分布始终是离散分布，因为它统计的是成功次数的整数

6. 速查表

性质	法则/公式
记号	$X \sim B (n, p)$
条件	B: 二元，I: 独立，N: 固定n，S: 恒定p
$P (X = k)$	$(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
期望	$E (X) = n p$
方差	$Var (X) = n p (1 - p)$
$P (X \leq k)$	使用GDC累积二项函数
$P (X \geq k)$	$1 - P (X \leq k - 1)$
$P (X < k)$	$P (X \leq k - 1)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
计算二项概率
2021 · 2
期望和累积概率
2023 · 1
判断二项场景，计算概率

下一步

二项概率是几乎所有应用统计分析的核心基础，从民意调查到制造业质量控制都有应用。掌握二项分布的条件能帮助你判断何时泊松分布或超几何分布等其他分布更适合问题。二项分布也是比例推断的基础，这是大学入门统计学和假设检验中的核心主题。本主题也自然引出正态分布，当 $n$ 很大时，我们会用正态分布近似二项概率。