函数图像变换

IB 数学：分析与方法 SL· 35 分钟阅读

1. 垂直变换★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

垂直变换

Original function $y = f (x)$

函数 $f (x)$ 外部的代数改变会修改输出 $y$ -值，导致平行于 $y$ -轴的变换。

例:

$y = 2 f (x)$ , $y = f (x) + 3$ , $y = - f (x)$

所有垂直变换的规律都符合直觉，与变化的符号一致。加常数使图像上移，减常数使图像下移。乘以大于1的常数会垂直拉伸，乘以0到1之间的常数会垂直压缩。乘以 $- 1$ 会关于 $x$ -轴反射。

📐 例题

原函数为 $f (x) = x^{2}$ 。写出 $y = 3 f (x) - 2$ 的方程并描述变换。

1
1. 识别变换： $f (x)$ 外的系数3是垂直拉伸， $- 2$ 是垂直平移。
2
1. 应用平行于 $y$ -轴、比例系数为3的垂直拉伸：
3
$y = 3x^2$
4
1. 减去2，应用向下平移2个单位：
5
$y = 3x^2 - 2$
6
最终结果：原抛物线垂直拉伸3倍，然后向下平移2个单位。

Exam tip:

$f (\cdot)$ 括号外的改变始终影响 $y$ -坐标（垂直方向）。

2. 水平变换★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

水平变换

Original function $y = f (x)$

函数自变量内部的代数改变会修改输入 $x$ -值，导致平行于 $x$ -轴的变换，方向与符号相反。

例:

$y = f (2 x)$ , $y = f (x + 3)$ , $y = f (- x)$

水平变换的规律与直觉相反：给 $x$ 加一个正常数会使图像左移，减常数会使图像右移。给 $x$ 乘以大于1的常数会按常数的倒数进行水平压缩，乘以0到1之间的常数会水平拉伸。乘以 $- 1$ 会关于 $y$ -轴反射。

📐 例题

原函数为 $f (x) = sin x$ 。描述从 $f (x)$ 到 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的变换。

1
1. 分解正弦函数内部的表达式，分离 $x$ 的变换：
2
$2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$
3
1. 识别两个变换：内部的系数2带来水平压缩， $- \frac{π}{6}$ 带来水平平移。
4
1. 第一个变换：平行于 $x$ -轴、比例系数 $\frac{1}{2}$ 的水平压缩。
5
1. 第二个变换：向右水平平移 $\frac{π}{6}$ 个单位。

3. 反射★★☆☆☆⏱ 8 min

反射将图像绕坐标轴翻转，是最简单的变换类型之一。IB考试中你需要掌握两种核心反射：

关于 $x$ -轴反射： $y = - f (x)$ ，所有 $y$ -值变号，每个点 $(a, b)$ 变为 $(a, - b)$
关于 $y$ -轴反射： $y = f (- x)$ ，所有 $x$ -值变号，每个点 $(a, b)$ 变为 $(- a, b)$

📐 例题

点 $(2, - 3)$ 在 $y = f (x)$ 的图像上。求关于 $y$ -轴反射后变换点的坐标。

1
关于 $y$ -轴反射意味着新函数是 $y = f (- x)$ 。
2
为得到原输出 $y$ ，令 $- x = 2$ ，所以 $x = - 2$ 。
3
$y$ -值保持不变，因此 $y = - 3$ 。
4
最终变换后的点是 $(- 2, - 3)$ 。

4. 组合多个变换★★★★☆⏱ 20 min

当应用多个变换时，应用顺序会改变最终结果。遵循这个简单规则：始终先进行拉伸和反射，再进行平移。对于函数内部的变换，分解自变量以正确识别每个变换的顺序和大小。

📐 例题

从 $y = x^{2}$ 开始，写出经过以下变换后图像的方程：垂直拉伸2倍，关于 $x$ -轴反射，向上平移1个单位，向左平移3个单位。

1
1. 从原函数开始，定义 $f (x) = x^{2}$ 。
2
1. 应用垂直拉伸2倍： $y = 2 f (x) = 2 x^{2}$ 。
3
1. 应用关于 $x$ -轴反射：乘以 $- 1$ ： $y = - 2 x^{2}$ 。
4
1. 应用向上平移1个单位：在函数外加1： $y = - 2 x^{2} + 1$ 。
5
1. 应用向左平移3个单位：将 $x$ 替换为 $(x + 3)$ ： $y = - 2 (x + 3)^{2} + 1$ 。
6
如果你先平移再拉伸，会得到错误结果 $y = - 2 (x + 3)^{2} + 2$ ，它的垂直平移量是错误的。

✓ 快速检测

检查你对变换顺序的理解：

从 $y = f (x)$ 得到 $y = 2 f (x + 1) - 3$ 的正确顺序是什么？
- 向左平移1，垂直拉伸2倍，向下平移3
- 垂直拉伸2倍，向左平移1，向下平移3
- 向下平移3，向左平移1，垂直拉伸2倍
显示答案
1 —
正确！规则是：拉伸/反射优先，然后平移，由内到外计算，因此水平平移在括号外的垂直变换之前。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $f (x)$ 向右平移2个单位得到 $f (x + 2)$

原因:

水平平移的方向与括号内变化的符号相反。

正确做法:

向右平移2个单位得到 $f (x - 2)$ 。

错误做法:

将 $f (2 x - 6)$ 写成 $f (2 (x - 6))$ 并向右平移6个单位

原因:

你必须提出x的系数才能得到正确的平移量。

正确做法:

分解得到 $f (2 (x - 3))$ ，因此向右平移3个单位。

错误做法:

先做垂直平移再做垂直拉伸，对拉伸2倍、向上平移3个单位得到 $y = 2 f (x) + 6$

原因:

拉伸必须始终在平移之前进行，避免平移量也被缩放。

正确做法:

先做拉伸： $y = 2 f (x)$ ，再加平移： $y = 2 f (x) + 3$ 。

错误做法:

混淆反射：将关于x轴的反射写成 $y = f (- x)$

原因:

负号在外部影响y（x轴反射），负号在内部影响x（y轴反射）。

正确做法:

关于x轴反射是 $y = - f (x)$ ，关于y轴反射是 $y = f (- x)$ 。

错误做法:

将 $y = f (2 x)$ 称为水平拉伸2倍

原因:

x的系数是水平比例系数的倒数。

正确做法:

$y = f (2 x)$ 是比例系数 $\frac{1}{2}$ 的水平压缩； $y = f (\frac{x}{2})$ 才是拉伸2倍。

6. 速查表

变换	代数形式	效果
向上垂直平移 $k$	$y = f (x) + k$	$(a, b) \to (a, b + k)$
向下垂直平移 $k$	$y = f (x) - k$	$(a, b) \to (a, b - k)$
向左水平平移 $k$	$y = f (x + k)$	$(a, b) \to (a - k, b)$
向右水平平移 $k$	$y = f (x - k)$	$(a, b) \to (a + k, b)$
垂直拉伸 $k$ 倍	$y = k f (x)$	All $y$ -values $\times k$
水平拉伸 $k$ 倍	$y = f (\frac{x}{k})$	All $x$ -values $\times k$
关于x轴反射	$y = - f (x)$	绕x轴翻转
关于y轴反射	$y = f (- x)$	绕y轴翻转

7. 常见问题

变换的顺序重要吗？

是的，当组合同一坐标轴上的变换，或者同时进行拉伸和平移时，顺序会影响结果。始终先进行拉伸/反射，再进行平移，并且从函数括号内到外计算。

为什么水平平移的方向与符号相反？

对于 $f (x + a)$ 与 $a > 0$ ，我们将 $x$ 替换为 $x + a$ ，因此图像比原函数提前 $a$ 个单位得到相同的输出 $y$ ，因此向左平移 $a$ 个单位，而非向右。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
求变换后的二次方程
2023 · 2
绘制变换后的指数函数图像
2021 · 1
组合反射和拉伸变换

下一步

掌握图像变换是你在整个IB AA SL课程中都会用到的基础技能。你会在研究复合函数、反函数、将二次函数写为顶点式、绘制变换后的三角函数图像时用到它。它还能让你为微积分问题快速绘制不熟悉的函数，帮助你理解参数变化如何改变函数行为。本主题直接建立在核心函数概念之上，是你应对两张试卷考试问题所需的更高级绘图技能的基础。