一次函数及其图像

IB 数学：分析与方法 SL· 5 分钟阅读

1. 核心定义与标准形式★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

一次函数

$f (x) = m x + c$

一阶多项式函数，图像为直线，自变量的最高次幂为1。

例:

$f (x) = 3 x - 2$ 是一次函数； $f (x) = x^{2} + 1$ 不是一次函数

一次函数可以写成三种常见的标准形式，每种形式适用于不同场景：

斜截式: $y = m x + c$ ，已知斜率和y轴截距时使用
点斜式: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ，已知一个点和斜率时使用
一般式: $a x + b y + d = 0$ ，其中 $a, b, d$ 为整数常数

📐 例题

将 $3 y - 6 x = 9$ 化为斜截式

1
在等式左侧分离出 $y$ 项，给两边同时加上 $6 x$ ：
2
$3y = 6x + 9$
3
将所有项除以 $y$ 的系数（即3）：
4
$y = 2x + 3$
5
这就是斜截式，斜率为 $m = 2$ ，y轴截距为 $c = 3$ 。

2. 斜率、截距与图像绘制★★☆☆☆⏱ 15 min

直线的斜率衡量 $x$ 每变化1单位时 $y$ 的变化量，可通过直线上任意两点计算得到。

📘 定义

斜率公式

$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

对于直线上两点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ ，斜率等于垂直变化量与水平变化量的比值。

📐 例题

求过点 $(2, 5)$ 和 $(5, 11)$ 的直线的斜率，再求它的x轴截距。

1
标记点并代入斜率公式：
2
$m = \frac{11 - 5}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$
3
使用点斜式得到完整直线方程：
4
$y - 5 = 2(x - 2) \implies y = 2x + 1$
5
令 $y = 0$ 并求解 $x$ ，得到x轴截距：
6
$0 = 2x + 1 \implies x = -\frac{1}{2}$
7
x轴截距为 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 。

3. 平行线与垂线★★☆☆☆⏱ 12 min

平行线和垂线的斜率之间有简单的规律，这是IB考试的常见考点。

📘 定义

平行线/垂线的斜率规律

若两条直线的斜率分别为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ ：(1) 平行线： $m_{1} = m_{2}$ ，(2) 垂线： $m_{1} m_{2} = - 1$

例:

斜率为4的直线与斜率为 $- \frac{1}{4}$ 的直线垂直

📐 例题

求过点 $(3, - 2)$ 且与 $y = 3 x + 1$ 垂直的直线方程。

1
原直线的斜率为 $m_{1} = 3$ ，因此垂线的斜率为：
2
$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{3}$
3
将点 $(3, - 2)$ 代入点斜式：
4
$y - (-2) = -\frac{1}{3}(x - 3)$
5
整理为斜截式：
6
$y + 2 = -\frac{1}{3}x + 1 \implies y = -\frac{1}{3}x - 1$

4. 一次函数的实际应用★★☆☆☆⏱ 15 min

许多具有恒定变化率的实际关系都可以用一次函数建模。在这类问题中，斜率就是恒定变化率，截距是输入为零时的初始值。

📐 例题

一家咖啡店收取固定月订阅费，再加每杯咖啡2美元。如果一个月买15杯咖啡总花费是38美元，求买25杯咖啡的总花费。

1
定义变量：设 $C$ 为月总花费， $n$ 为咖啡杯数。线性模型为 $C = mn + f$ ，其中 $f$ 为固定费用， $m$ 为每杯咖啡的价格。
2
已知 $m = 2$ ，代入已知值求 $f$ ：
3
$38 = 2(15) + f \implies 38 = 30 + f \implies f = 8$
4
完整模型为 $C = 2 n + 8$ ，计算25杯咖啡的花费：
5
$C = 2(25) + 8 = 50 + 8 = 58$
6
25杯咖啡的总花费是$58。

5. 常见陷阱

错误做法:

将斜率计算为 $\frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$

原因:

交换分子分母会得到正确斜率的倒数

正确做法:

始终记住斜率是y的变化量除以x的变化量： $m = \frac{Δ y}{Δ x}$

错误做法:

不整理就直接从一般式中读取斜率和截距

原因:

一般式中x和y的系数不等于 $m$ 和 $c$

正确做法:

读取斜率和截距前，始终先将一般式整理为 $y = m x + c$

错误做法:

认为垂线的斜率是 $- m$ 而非 $- \frac{1}{m}$

原因:

把负号和取倒数的要求混淆了

正确做法:

垂线斜率乘积为 $- 1$ ，因此始终取原斜率的负倒数

错误做法:

认为竖直线 $x = k$ 的斜率为0

原因:

混淆了水平线和竖直线的性质

正确做法:

水平线 $y = k$ 的斜率为0；竖直线 $x = k$ 的斜率不存在

错误做法:

实际问题中混淆输入变量和输出变量

原因:

交换变量会颠倒变化率，导致斜率错误

正确做法:

解题开始时始终明确定义变量，避免该错误

6. 速查表

性质	规律/公式	注释
两点间斜率	$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$	上升量除以运行量
斜截式	$y = m x + c$	$m$ = 斜率， $c$ = y轴截距
点斜式	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	已知一点+斜率时使用
平行线	$m_{1} = m_{2}$	斜率相等
垂线	$m_{1} m_{2} = - 1$	负倒数斜率
水平线	$y = k$ , $m = 0$	平行于x轴
竖直线	$x = k$ , $m$ 不存在	平行于y轴
一般式	$a x + b y + c = 0$	整理为 $y = m x + c$ 后读取数值

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
求垂线方程
2023 · 1
实际问题中的线性成本问题
2021 · 2
两点之间的斜率

下一步

一次函数是IB AA SL几乎所有后续主题的基础。一次函数恒定变化率的概念，直接为你学习非线性函数的瞬时变化率（微分微积分的核心思想）做好了准备。你还会应用一次函数求解线性方程组、在统计学中用线性回归对二元数据建模，求解涉及恒定速度或加速度的运动学问题。掌握直线图像及其性质，对于理解和处理你将遇到的所有其他函数类型（包括二次函数、指数函数和三角函数）至关重要。