复合函数与反函数

IB 数学分析与方法 SL· 2.2 复合函数与反函数· 45 分钟阅读

1. 复合函数★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

复合函数

f \circ g(x) = f(g(x))

将 $g (x)$ 的输出作为 $f (x)$ 输入的函数。复合顺序很重要，因此大多数情况下 $f \circ g \neq = g \circ f$ 。

例:

若 $f (x) = x + 2$ 且 $g (x) = x^{2}$ ，则 $f (g (x)) = x^{2} + 2$ ，而 $g (f (x)) = (x + 2)^{2}$

求复合函数的定义域时，定义域受内函数 $g (x)$ 本身的限制，以及外函数 $f (x)$ 对 $g (x)$ 输出的限制共同约束。

📐 例题

已知 $f (x) = x + 3$ 的定义域为 $x \geq - 3$ ， $g (x) = 2 x - 4$ ，求 $f \circ g (x)$ 并写出其定义域。

1
将 $g (x)$ 代入 $f$ 的输入，得到代数形式：
2
$f(g(x)) = f(2x - 4) = \sqrt{(2x - 4) + 3} = \sqrt{2x - 1}$
3
求定义域： $g (x)$ 是线性函数，没有定义域限制。根号内的表达式必须非负：
4
$2x - 1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}$
5
最终结果： $f \circ g (x) = 2 x - 1$ ，定义域为 $x \geq \frac{1}{2}$

Exam tip:

一定要检查复合函数的定义域限制：即使题目只要求求函数表达式，定义域几乎总是占1分。

2. 反函数与一对一条件★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

一对一函数

每个输出对应唯一输入的函数。从图像上看，满足水平线测试的函数是一对一函数。只有一对一函数存在反函数。

例:

$f (x) = 3 x + 1$ 是一对一函数； $f (x) = x^{2}$ 在全体实数上不是一对一函数

如果函数在其自然定义域上不是一对一的，你可以限制定义域来得到一个存在反函数的一对一函数。原函数的值域就是反函数的定义域。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{2} - 6 x$ ， $x \geq 3$ ，求 $f^{- 1} (x)$ 并写出其定义域。

1
首先写出 $y = f (x)$ ，然后交换 $x$ 和 $y$ ，准备求反函数：
2
$x = y^2 - 6y$
3
配方求解y：
4
$x = (y - 3)^2 - 9 \implies (y - 3)^2 = x + 9 \implies y - 3 = \pm \sqrt{x + 9}$
5
原定义域是 $x \geq 3$ ，因此 $f (x)$ 的值域为 $y \geq (3)^{2} - 6 (3) = - 9$ 。这说明 $f^{- 1}$ 的定义域是 $x \geq - 9$ ，且反函数中要求 $y \geq 3$ ，因此我们取正根：
6
$y = 3 + \sqrt{x + 9}$
7
最终结果： $f^{- 1} (x) = 3 + x + 9$ ，定义域为 $x \geq - 9$

Exam tip:

求二次函数反函数开平方后选择正确的符号是常见的给分点，一定要根据原定义域证明你的选择。

3. f与f⁻¹的图像关系★★☆☆☆⏱ 10 min

因为求反函数会交换原函数上每个点的x和y值，因此 $f^{- 1} (x)$ 的图像是 $f (x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 的对称图形。

📐 例题

$f (x) = 2^{x + 1}$ 的图像经过点 $(0, 2)$ ，定义域为全体实数，水平渐近线为 $y = 0$ 。画出 $f^{- 1} (x)$ 的关键特征。

1
将所有关键特征关于 $y = x$ 对称：f上的点 $(0, 2)$ 变为 $f^{- 1}$ 上的点 $(2, 0)$ 。
2
f的水平渐近线 $y = 0$ 变为 $f^{- 1}$ 的垂直渐近线 $x = 0$ （y轴）。
3
f的定义域变为 $f^{- 1}$ 的值域，f的值域（ $y > 0$ ）变为 $f^{- 1}$ 的定义域（ $x > 0$ ）。
4
因为f是增函数，所以 $f^{- 1}$ 也是增函数。

Exam tip:

如果题目要求根据 $f$ 的给定图像绘制反函数，关于 $y = x$ 对称反射比代数计算反函数快得多。

4. 常见陷阱

错误做法:

颠倒复合顺序，将 $f \circ g$ 错误计算为 $g (f (x))$ 而不是 $f (g (x))$ 。

原因:

记号从左往右读，导致很多学生混淆哪个函数先作用。

正确做法:

记住离 $x$ 最近的是内函数： $f \circ g (x) = f (g (x))$ ，从内向外计算。

错误做法:

将反函数记号与倒数混淆：错误认为 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{f ( x )}$ 。

原因:

-1次幂看起来和倒数的指数一样，导致了这个常见错误。

正确做法:

记住 $f^{- 1}$ 是抵消f作用的反函数，而 $(f (x))^{- 1}$ 才是 $f (x)$ 的倒数。

错误做法:

忘记写出复合函数或反函数的定义域。

原因:

学生通常只专注于求代数表达式，忽略了单独给分的定义域要求。

正确做法:

即使题目没有明确要求，也要在最终答案中加上定义域。

错误做法:

在没有限制定义域的情况下，声称非一对一函数存在反函数。

原因:

很多学生忘记只有一对一函数才存在反函数。

正确做法:

求反函数前，先检查函数是否通过水平线测试，必要时限制定义域。

5. 速查表

概念	核心规则	考试提示
复合 $f \circ g$	$f (g (x))$ ，先算内函数	顺序很重要，一定要写出定义域
复合函数定义域	内函数限制 + 外函数限制	几乎每次都占1分
反函数存在条件	函数是一对一的（通过水平线测试）	必要时限制定义域
代数法求反函数	交换 $x$ 和 $y$ ，求解 $y$	二次函数要选择正确符号
反函数图像	f关于 $y = x$ 的对称图形	$(a, b) \to (b, a)$ 对应到反函数上

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
求二次函数的反函数
2023 · 1
计算复合函数的定义域
2021 · 2
根据给定图像绘制反函数

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IB SyllabusIB AA SL 大纲主题 2官方大纲参考

下一步

复合函数和反函数是IB AA SL中几乎所有后续函数主题的基础。最直接的应用是指数函数和对数函数，它们互为反函数，因此你在这里学到的技能会帮助你后续求解指数和对数方程。你在统计学单元学习累积分布函数时也会用到反函数，限制定义域的技能对于求解经常出现在试卷1和试卷2中的各类函数方程至关重要。