数与代数 (Number and Algebra) — IB Math AA SL AA SL 学习指南

适合谁：IB Math AA SL 参加 IB Math: Analysis & Approaches SL 的考生。

覆盖内容：等差/等比数列、对数运算法则与方程、正整数指数二项式定理、指数方程、西格玛记号五大核心子主题。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AA SL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是数与代数（Number and Algebra）？

数与代数是IB Math AA SL的第一个核心模块，占整个考试分值的20%-25%，是所有后续知识点的基础。考纲要求你掌握基础代数运算工具，既能直接解决纯计算问题，也能结合实际场景（如复利、人口增长）完成应用解答，考点难度普遍较低，是必须拿满分数的基础模块。

2. 数列（等差与等比）

数列（sequence）是按固定顺序排列的数字序列，IB仅考察两类基础数列：

等差数列（arithmetic sequence）

定义：后项与前项的差值为固定常数公差（common difference）$d$，核心公式：

• 通项公式（第$n$项的值）：$$u_n=u_1+(n-1)d$$ 其中$u_1$为首项
• 前$n$项和：$$S_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)=\frac{n}{2}(2u_1+(n-1)d)$$ 范例：已知等差数列首项$u_1=2$，公差$d=3$，则第5项$u_5=2+(5-1)\times 3=14$，前5项和$S_5=\frac{5}{2}(2+14)=40$。

等比数列（geometric sequence）

定义：后项与前项的比值为固定常数公比（common ratio）$r$，核心公式：

• 通项公式：$$u_n=u_1{r}^{n-1}$$
• 前$n$项和：$$S_n=u_1\frac{r^n-1}{r-1}(r\ne 1)$$
• 无穷等比和：仅当$|r|<1$时存在，$$S_{\infty }=\frac{u_1}{1-r}$$ 考官提示：无穷等和常考复利、折旧类应用题，必须先验证$|r|<1$才能套用公式。

3. 对数运算规则与对数方程

对数（logarithm）是指数的逆运算：若$a^x=b$（$a>0,a\ne 1,b>0$），则$x={\log }_{a}b$，其中$a$为底数，$b$为真数。

核心运算规则

1. 乘积法则：${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$
2. 商法则：${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$
3. 幂法则：${\log }_a(x^k)=k{\log }_{a}x$
4. 换底公式：${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}$（可转换为自然对数用计算器计算）
5. 特殊值：${\log }_{a}1=0$，${\log }_{a}a=1$

范例：解方程${\log }_2(x+1)+{\log }_2(x-1)=3$： 第一步用乘积法则合并：${\log }_2\left[(x+1)(x-1)\right]=3$，转换为指数形式得$x^2-1=8$，解得$x=\pm 3$；第二步验证定义域：真数必须大于0，即$x>1$，舍去负根，最终解为$x=3$。

4. 正整数指数二项式定理

二项式定理（binomial theorem）用于快速展开两个项之和的正整数次幂，对于正整数$n$： $$(a+b{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{n-r}{b}^r$$ 其中二项式系数（binomial coefficient） $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$，也可通过帕斯卡三角形直接查找。 范例：求$(2x+3{)}^4$中$x^2$项的系数： 对应$r=2$，代入通项得$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)(2x{)}^{4-2}{3}^2=6\times 4x^2\times 9=216x^2$，因此系数为216。

5. 指数方程

指数方程（exponential equation）指未知数出现在指数位置的方程，两类常规解法：

1. 底数可化为相同：直接令指数相等求解，比如$3^{2x-1}=27=3^3$，则$2x-1=3$，解得$x=2$
2. 底数不可化为相同：两边同时取自然对数，再利用对数幂法则降次，比如$5^x=20$，两边取$\ln$得$x\ln 5=\ln 20$，解得$x=\frac{\ln 20}{\ln 5}\approx 1.86$

6. 西格玛记号（Sigma Notation）

西格玛记号是简化求和表达式的符号，${\sum }_{r=k}^n{u}_r$表示从$r=k$到$r=n$的所有$u_r$相加，即： $$\sum _{r=k}^n{u}_r=u_k+u_{k+1}+u_{k+2}+...+u_n$$ 其中$r$为求和变量，$k$为求和下限，$n$为求和上限。 常用求和公式：

• ${\sum }_{r=1}^{n}1=n$
• ${\sum }_{r=1}^{n}r=\frac{n(n+1)}{2}$ 范例：计算${\sum }_{r=1}^4(2r+1)$： 拆分为$2{\sum }_{r=1}^{4}r+{\sum }_{r=1}^{4}1=2\times \frac{4\times 5}{2}+4=20+4=24$，与逐项相加$3+5+7+9=24$结果一致。

7. 常见陷阱（Common Pitfalls）

1. 等比数列求和忽略$r=1$的情况：错误做法是直接套用$S_n=u_1\frac{r^n-1}{r-1}$，学生默认公比不为1，忽略考纲要求的分类讨论点；正确做法是先判断公比是否为1，$r=1$时$S_n=n{u}_1$，否则再用标准求和公式。
2. 解对数方程不验证定义域：错误做法是解出根后直接写答案，忽略对数真数必须大于0的要求，导致出现增根；正确做法是解完方程后把所有根代入原方程的真数部分，舍去使真数小于等于0的根。
3. 二项式展开漏算系数的幂：错误做法是计算$(2x{)}^r$时只给$x$乘方，写成$2x^r$，学生对运算优先级理解不清；正确做法是括号内所有项都要乘方，即$(2x{)}^r=2^r{x}^r$。
4. 西格玛求和搞错上下限：错误做法是忽略求和起始值，比如把${\sum }_{r=0}^{3}r$当成${\sum }_{r=1}^{3}r$计算，少算$r=0$的项；正确做法是先确认上下限，不确定时先写出前1-2项验证。

8. 练习题（IB Math AA SL 风格）

题1

已知某等差数列前3项和为12，前5项和为35，求首项$u_1$、公差$d$及第10项的值。 解答：

1. 代入等差数列求和公式： $S_3=\frac{3}{2}(2u_1+2d)=3(u_1+d)=12⟹u_1+d=4$ $S_5=\frac{5}{2}(2u_1+4d)=5(u_1+2d)=35⟹u_1+2d=7$
2. 联立方程解得$d=3$，$u_1=1$
3. 第10项$u_{10}=u_1+9d=1+27=28$

题2

求${\left(x-\frac{2}{x}\right)}^6$展开式中的常数项。 解答：

1. 二项展开通项为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{r}\right)x^{6-r}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{r}\right)(-2{)}^r{x}^{6-2r}$
2. 常数项要求$x$的指数为0，即$6-2r=0⟹r=3$
3. 代入得常数项为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)(-2{)}^3=20\times (-8)=-160$

题3

解方程$2^{x+1}\times 3^x=72$，结果保留3位有效数字。 解答：

1. 左边合并为$(2\times 3{)}^x\times 2=6^x\times 2=72⟹6^x=36$
2. 两边取自然对数：$x\ln 6=\ln 36⟹x=\frac{\ln 36}{\ln 6}=2.00$

9. 速查表（Quick Reference Cheatsheet）

10. 接下来怎么学

本模块是IB Math AA SL所有后续内容的基础：数列会和统计模块的离散分布、函数模块的迭代问题结合考察，对数和指数运算规则是后续微积分模块求导、积分的核心工具，二项式定理和西格玛记号会在概率、级数部分反复用到，务必把公式记熟、基础打牢。 如果刷真题时遇到任何数与代数相关的疑问，或者需要更多针对性练习，可以随时咨询小欧，我们会为你提供定制化的辅导方案。