微积分与运动学

IB 数学：分析与方法 HL· Syllabus 5.9: 运动学问题（位移、速度、加速度；总路程）· 16 分钟阅读

1. 通过求导建立的核心运动学关系★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

对沿直线运动的质点，三个核心运动学量通过变化率相互联系。恒定加速度（SUVAT）方程在这里并不适用，因为加速度通常是时间的函数。在 HL 中你会遇到多项式型、三角型、指数型或它们组合的运动函数。

📘 定义

运动学导数关系

速度是位移对时间的一阶导数，加速度是速度对时间的一阶导数，等价地也是位移对时间的二阶导数。

v(t) = \frac{ds}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}

📐 例题

一质点沿直线运动，位移函数为 $s (t) = 2 t^{3} - 9 t^{2} + 12 t$ （ $t \geq 0$ ），其中 $s$ 以米为单位， $t$ 以秒为单位。求质点在 $t = 2$ 秒时的速度和加速度，并说明该时刻质点在加速还是减速。

1
把 $s (t)$ 求导一次得到速度：
2
$v(t) = \frac{ds}{dt} = 6t^2 - 18t + 12$
3
代入 $t = 2$ 求 2 秒时的速度：
4
$v(2) = 6(2)^2 - 18(2) + 12 = 24 - 36 + 12 = 0 \text{ m/s}$
5
把 $v (t)$ 求导一次得到加速度：
6
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 12t - 18$
7
代入 $t = 2$ 求 2 秒时的加速度：
8
$a(2) = 12(2) - 18 = 24 - 18 = 6 \text{ m/s}^2$
9
在 $t = 2$ 时质点瞬时静止（ $v = 0$ ）且即将朝正方向运动，因为 $a (2) > 0$ 。这是运动的一个转折点。

当速度和加速度同号（乘积 $v \cdot a > 0$ ）时质点在加速，异号（ $v \cdot a < 0$ ）时在减速。这是 HL 里紧跟求导小问后常见的追问。

✓ 快速检测

确认你理解了这些导数关系：

若 $s (t) = 5 sin (t)$ ，则 $a (t)$ 是多少？
- $5 cos (t)$
- $- 5 sin (t)$
- $- 5 cos (t)$
- $5 sin (t)$
显示答案
$-5\sin(t)$ —
求导两次：一阶导数是 $5 cos (t)$ ，二阶导数是 $- 5 sin (t)$ 。

2. 通过积分还原速度与位移★★★☆☆⏱ 13 min

✓ 计算器

积分是求导的逆运算：对加速度积分得到速度，对速度积分得到位移。每次不定积分都会引入一个常数，需由给定的边界（初始）条件确定。在 HL 中被积函数常是三角型或指数型，所以要善用标准积分，必要时用换元。

v(t) = \int a(t)\,dt + c_1, \quad s(t) = \int v(t)\,dt + c_2

📐 例题

一质点的速度为 $v (t) = 6 t^{2} - 18 t + 12$ （ $t \geq 0$ ）。在 $t = 0$ 时质点位移 $s = 0$ 。求位移函数 $s (t)$ 以及 $t = 0$ 到 $t = 3$ 之间的净位移。

1
对 $v (t)$ 积分求一般位移函数：
2
$s(t) = \int (6t^2 - 18t + 12)\,dt = 2t^3 - 9t^2 + 12t + c$
3
运用初始条件 $s (0) = 0$ ： $0 = 0 - 0 + 0 + c$ ，所以 $c = 0$ 。
4
计算从 $t = 0$ 到 $t = 3$ 的定积分得到净位移：
5
$\int_0^3 (6t^2 - 18t + 12)\,dt = \left[2t^3 - 9t^2 + 12t\right]_0^3 = (54 - 81 + 36) - 0 = 9 \text{ m}$

📐 例题

一质点从静止出发，加速度为 $a (t) = 4 cos (2 t)$ m/s $^{2}$ （ $t \geq 0$ ）。已知 $t = 0$ 时速度 $v (0) = 1$ m/s、位移 $s (0) = 0$ ，求 $v (t)$ 和 $s (t)$ 。

1
对加速度积分，用 $\int cos (k t) d t = \frac{1}{k} sin (k t)$ ：
2
$v(t) = \int 4\cos(2t)\,dt = 2\sin(2t) + c_1$
3
运用 $v (0) = 1$ ： $2 sin (0) + c_{1} = 1$ ，所以 $c_{1} = 1$ ， $v (t) = 2 sin (2 t) + 1$ 。
4
对速度积分，用 $\int sin (k t) d t = - \frac{1}{k} cos (k t)$ ：
5
$s(t) = \int \big(2\sin(2t) + 1\big)\,dt = -\cos(2t) + t + c_2$
6
运用 $s (0) = 0$ ： $- cos (0) + 0 + c_{2} = 0 \Rightarrow - 1 + c_{2} = 0$ ，所以 $c_{2} = 1$ 。
7
$s(t) = -\cos(2t) + t + 1$

3. 总路程★★★★☆⏱ 15 min

✓ 计算器

求总路程时，先找出区间内所有使 $v (t) = 0$ 的时刻（质点可能反向的候选点）。在这些根处把区间分段，在每个子区间上对 $∣ v (t) ∣$ 积分，再求和。等价地，总路程 $= \int_{t_{1}}^{t_{2}} ∣ v (t) ∣ d t$ 。在 Paper 2 中，这个绝对值的单个积分可以直接用 GDC 计算。

\text{Total distance} = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt

📐 例题

用速度函数 $v (t) = 6 t^{2} - 18 t + 12$ ，计算质点在 $t = 0$ 到 $t = 3$ 之间所走的总路程（解析法）。

1
求 $v (t) = 0$ 的根：分解得 $6 (t - 1) (t - 2) = 0$ ，所以根为 $t = 1$ 和 $t = 2$ 。
2
检验 $v (t)$ 在各区间上的符号：在 $0 < t < 1$ 上为正，在 $1 < t < 2$ 上为负，在 $2 < t < 3$ 上为正。
3
在每个区间上对 $v (t)$ 的绝对值积分：
4
$\int_0^1 v(t)\,dt = 5, \quad \int_1^2 -v(t)\,dt = 1, \quad \int_2^3 v(t)\,dt = 5$
5
把三个结果相加得到总路程： $5 + 1 + 5 = 11$ m。

📐 例题

一质点以速度 $v (t) = 2 cos (t)$ m/s 运动（ $0 \leq t \leq 2 π$ ）。求净位移和总路程（Paper 2 / GDC 法）。

1
净位移是速度在整个区间上带符号的积分：
2
$\int_0^{2\pi} 2\cos(t)\,dt = \big[2\sin(t)\big]_0^{2\pi} = 0 \text{ m}$
3
质点回到出发点，所以净位移为 0，但它显然运动过。用绝对值计算总路程：
4
$\int_0^{2\pi} |2\cos(t)|\,dt = 8 \text{ m}$
5
在 GDC 上直接输入 $\int_{0}^{2 π} abs (2 cos (t)) d t$ 得到 8 m；无需手工分段。

4. 运动学函数的图像解读★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

图像	斜率表示	曲线下面积表示
位移-时间	瞬时速度	无标准运动学含义
速度-时间	瞬时加速度	净位移（带符号）/ 总路程（不带符号）
加速度-时间	加速度的变化率	速度的变化

📐 例题

一条速度-时间图像是从 $t = 0$ 时 $v = 4$ m/s 到 $t = 3$ 时 $v = - 2$ m/s 的一条直线。用面积计算求净位移和总路程。

1
直线在图像达到零处穿过 $v = 0$ ；由相似三角形可知这发生在 $t = 2$ 。
2
从 $t = 0$ 到 $t = 2$ 的正三角形：面积 $= \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ m。
3
从 $t = 2$ 到 $t = 3$ 的负三角形：面积 $= \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$ m（在坐标轴下方）。
4
净位移 $= 4 - 1 = 3$ m；总路程 $= 4 + 1 = 5$ m。

5. 常见陷阱

错误做法:

用 $v (t)$ 的单个定积分直接计算总路程

原因:

速度为负的区域会抵消正的位移，得到的是净位移而不是总路径长度

正确做法:

对 $∣ v (t) ∣$ 积分：找出区间内 $v (t)$ 的所有根，在这些点处分段并对绝对值求和，或用 GDC 的绝对值积分

错误做法:

把加速度当作位移的一阶导数

原因:

弄错求导顺序会跳过速度这一步，得到错误的单位和数值

正确做法:

按次序来：把位移求导一次得速度，再把速度求导一次得加速度

错误做法:

求 $v (t)$ 或 $s (t)$ 时忘记积分常数

原因:

不定积分会产生一个任意常数，它确定初始速度或位置

正确做法:

在最终确定函数前，用给定的边界条件（如 $v (0) = 1$ 、 $s (0) = 3$ ）求出常数

错误做法:

积分 $sin (k t)$ 或 $cos (k t)$ 时丢掉 $\frac{1}{k}$ 因子

原因:

对内层函数 $k t$ 应用链式法则会给积分带来缩放；忽略它会使速度和位移相差一个 $k$ 倍

正确做法:

仔细运用 $\int cos (k t) d t = \frac{1}{k} sin (k t)$ 和 $\int sin (k t) d t = - \frac{1}{k} cos (k t)$

错误做法:

以为加速度为零时速度也为零

原因:

加速度为零意味着速度瞬时保持不变（ $v$ 的转折点），而不是速度等于零

正确做法:

明确令 $v (t) = 0$ ，找出质点瞬时静止或改变方向的位置

错误做法:

把加速度单位写成 m/s

原因:

加速度是速度的变化率，所以单位是米每二次方秒

正确做法:

始终确认单位与量相符：位移 m，速度 m/s，加速度 m/s $^{2}$

6. 速查表

量	数学关系	标准单位
位移 $s (t)$	$s (t) = \int v (t) d t + c$	m
速度 $v (t)$	$v (t) = \frac{d s}{d t} = \int a (t) d t + c$	m/s
加速度 $a (t)$	$a (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$	m/s²
净位移 $t_{1}$ 到 $t_{2}$	$\int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$	m
总路程 $t_{1}$ 到 $t_{2}$	$\int_{t_{1}}^{t_{2}} ∣ v (t) ∣ d t$	m
加速 / 减速	$v \cdot a > 0$ 加速； $v \cdot a < 0$ 减速	—

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 2
用 GDC 做运动学积分、总路程，7 分题
2022 · Paper 1
用求导求速度和加速度，解析法，8 分题
2021 · Paper 2
三角型速度、方向改变与总路程，6 分题

下一步

掌握微积分运动学是高频高产的 HL 技能，几乎出现在每一份 IB Math AA HL Paper 2 中，常值 6-9 分，也以解析形式出现在 Paper 1 上。它把你的求导和积分功底（包括三角、指数积分和换元）与函数求根分析和定积分计算融合在一起。预计这些思路会在相关变化率、最优化和建模等更长的应用微积分题目中再次出现，要做好准备，在精确的解析运算（Paper 1）与高效地用 GDC 计算总路程积分（Paper 2）之间流畅切换。