求导法则

IB 数学 AA HL· 5.1 Differentiation· 5 分钟阅读

1. 基础求导法则★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

基础求导法则

\frac{d}{dx}[f(x)]

一组可直接计算导数的快捷法则，无需使用极限定义，能大幅加快计算速度

例:

根据幂法则， $x^{n}$ 的导数为 $n x^{n - 1}$

所有基础法则都源自导数的极限定义，但在考试有限的时间内，熟记它们是解决复杂问题的关键。常用函数的核心基础法则如下：

常数法则：对任意常数 $c$ ，有 $\frac{d}{d x} [c] = 0$
幂法则：对任意实数 $n$ ，有 $\frac{d}{d x} [x^{n}] = n x^{n - 1}$
指数法则： $\frac{d}{d x} [e^{x}] = e^{x}$ ， $\frac{d}{d x} [a^{x}] = a^{x} ln a$
自然对数法则： $\frac{d}{d x} [ln x] = \frac{1}{x}$
三角函数法则： $\frac{d}{d x} [sin x] = cos x$ ， $\frac{d}{d x} [cos x] = - sin x$

📐 例题

求 $f (x) = 3 x^{4} - 2 x + \frac{5}{x ^{2}} + 7$ 的导数

1
将所有项改写为幂次形式，以便应用幂法则：
2
$3x^4 - 2x^{1/2} + 5x^{-2} + 7x^0$
3
使用常数倍法则和加法法则，逐项应用幂法则：
4
$f'(x) = 3(4x^3) - 2\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right) + 5(-2x^{-3}) + 0$
5
化简最终结果：
6
$f'(x) = 12x^3 - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{10}{x^3}$

Exam tip:

求导前始终将根号和倒数改写为幂次形式，避免系数错误。

2. 乘积法则与商法则★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

乘积法则与商法则

(fg)' = f'g + fg', \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

分别用于对两个不同可导函数的乘积和商求导的法则。

乘积法则适用于两个函数相乘的情况，商法则适用于一个函数除以另一个函数的情况。有一个常用口诀可以帮助记住商法则的项顺序：

📐 例题

求 $g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ 的导数

1
确定分子 $f (x) = 2 x + 1$ ，分母 $g (x) = x - 3$ ，然后求它们的导数： $f^{'} (x) = 2$ ， $g^{'} (x) = 1$
2
应用商法则：
3
$g'(x) = \frac{(2)(x - 3) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2}$
4
化简分子： $2 x - 6 - 2 x - 1 = - 7$
5
化简后的最终结果：
6
$g'(x) = \frac{-7}{(x - 3)^2}$

Exam tip:

交换商法则分子中项的顺序会改变答案的符号，一定要反复检查顺序。

3. 复合函数的链式法则★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

链式法则

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}, (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

用于对复合函数（即一个函数作用于另一个函数的输出）求导的法则。

链式法则是IB考试中最常用的求导法则。应用策略很简单：先对外层函数求导，内层函数保持不变，然后乘以内层函数的导数。

📐 例题

对 $y = (3 x^{2} - 5 x + 2)^{4}$ 求导

1
定义内层函数 $u = 3 x^{2} - 5 x + 2$ ，外层函数 $y = u^{4}$
2
分别对每个函数求导：
3
$\frac{dy}{du} = 4u^3, \quad \frac{du}{dx} = 6x - 5$
4
应用链式法则：
5
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3(6x - 5)$
6
回代 $u = 3 x^{2} - 5 x + 2$ 得到最终结果：
7
$\frac{dy}{dx} = (24x - 20)(3x^2 - 5x + 2)^3$

✓ 快速检测

测试你对何时使用链式法则的理解：

求 $y = x^{2} sin x$ 的导数是否需要应用链式法则？
- 需要，因为它是两个函数的乘积
- 不需要，链式法则仅适用于复合函数，这里需要使用乘积法则
- 需要，因为 $x^{2}$ 是幂函数
显示答案
1 —
正确！ $y = x^{2} sin x$ 是两个函数的乘积，不是复合函数，因此只需要使用乘积法则。

4. 求导法则的综合应用★★★★☆⏱ 15 min

大多数IB考试题目需要结合多个求导法则，几乎总是链式法则搭配乘积法则或商法则。可靠的策略是从最外层运算开始，逐层向内推导，每一步应用所需的法则。

📐 例题

求 $f (x) = e^{- x} cos (2 x)$ 的导数

1
最外层运算是乘积，因此从乘积法则开始：
2
$f'(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x}] \cos(2x) + e^{-x} \frac{d}{dx}[\cos(2x)]$
3
使用链式法则对每一项求导：
4
$\frac{d}{dx}[e^{-x}] = e^{-x}(-1) = -e^{-x}, \quad \frac{d}{dx}[\cos(2x)] = -\sin(2x)(2) = -2\sin(2x)$
5
回代入乘积法则的表达式：
6
$f'(x) = (-e^{-x})\cos(2x) + e^{-x}(-2\sin(2x))$
7
提取公因式化简：
8
$f'(x) = -e^{-x}\left(\cos(2x) + 2\sin(2x)\right)$

Exam tip:

标记每个函数层并写出每一步，避免遗漏链式法则中的导数项——这是考试中非常常见的错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

应用链式法则时忘记乘以内层函数的导数

原因:

仅对外层函数求导，遗漏了一个必要因子，会彻底改变结果

正确做法:

对外层函数求导后，始终记得乘以内层函数的导数

错误做法:

交换商法则分子中项的顺序

原因:

这会改变整个导数的符号，得到错误答案，通常会被扣分

正确做法:

使用口诀'下导上减去上导下'记住正确的项顺序

错误做法:

对乘积求导时直接乘导数： $(f g)^{'} = f^{'} g^{'}$

原因:

混淆了乘积法则与加法法则，加法法则中'和的导数等于导数的和'

正确做法:

始终使用完整的乘积法则： $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

错误做法:

错误写出 $\frac{d}{d x} [ln x] = \frac{1}{l n x}$

原因:

将对数函数的导数与 $x^{n}$ 的幂法则混淆

正确做法:

牢记 $ln x$ 对 $x$ 的导数始终是 $\frac{1}{x}$

错误做法:

对 $a^{x}$ 求导时忘记 $ln a$ ，错误写出 $\frac{d}{d x} [a^{x}] = a^{x}$

原因:

混淆了一般指数函数与 $e^{x}$ ， $e^{x}$ 的导数就是它本身

正确做法:

对底数 $a \neq = e$ 的指数函数求导时，始终乘以 $ln a$

6. 速查表

法则名称	公式
常数法则	$\frac{d}{d x} [c] = 0$
幂法则	$\frac{d}{d x} [x^{n}] = n x^{n - 1}$
乘积法则	$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
商法则	$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
链式法则	$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
指数函数	$\frac{d}{d x} [e^{x}] = e^{x}, \frac{d}{d x} [a^{x}] = a^{x} ln a$
对数函数	$\frac{d}{d x} [ln x] = \frac{1}{x}$
正弦函数	$\frac{d}{d x} [sin x] = cos x$
余弦函数	$\frac{d}{d x} [cos x] = - sin x$

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求导法则是IB 数学 AA HL中几乎所有后续微积分主题的基础。掌握这些核心法则后，你可以继续学习更高级的求导技巧，包括隐函数求导、参数方程求导和高阶导数求解。在后续单元中，当你寻找临界点、绘制曲线、求解优化问题，以及反向应用法则进行换元积分时，都会不断用到这些法则。持续练习综合应用法则是考试中提高速度和准确率的关键。