隐函数求导

IB 数学分析与方法 HL· AA HL 5.4 Differentiation techniques· 15 分钟阅读

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📘 定义

对隐关系式两边关于 $x$ 求导，对所有含 $y$ 的项应用链式法则的过程。

例:

适用于难以整理为 $y = f (x)$ 的关系式，例如 $x^{2} + y^{3} = x y$ 。

根据链式法则，任意关于y的函数对x求导可得恒等式：

\frac{d}{dx}\left[f(y)\right] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}

📐 例题

求 $x^{2} + y^{2} = 25$ 的 $\frac{d y}{d x}$ ，然后计算点 $(3, 4)$ 处的梯度。

Exam tip:

永远不要忘记对含 $y$ 的项应用链式法则因子。

错误做法:

隐函数求导时，对含y的项求导后忘记乘以 $\frac{d y}{d x}$ 。

原因:

我们是对x而非y求导，因此链式法则要求额外的这个因子。

正确做法:

每次对y的函数求导时，都要添加 $\frac{d y}{d x}$ 作为因子。

求导方法	核心公式	适用场景
隐函数求导法	逐项求导: $\frac{d}{d x} [f (y)] = f^{'} (y) \frac{d y}{d x}$ , 然后整理	适用于无法写成 $y = f (x)$ 的关系式

掌握隐函数求导对 AA HL 后续微积分很重要。接下来你将用它求隐式定义曲线上的切线、法线和驻点，它也是相关变化率问题的基础。