条件概率与贝叶斯定理 — IB 数学：分析与方法 HL
1. 条件概率：定义与基本法则 ★★☆☆☆ ⏱ 5 min
根据定义，条件概率的核心公式可直接由$A$和$B$的联合概率推导得出：
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0
2. 树状图与全概率公式 ★★☆☆☆ ⏱ 6 min
树状图非常适合解决序列概率问题。每个分支都标注了该步骤在所有先前步骤发生前提下的条件概率。全概率公式允许我们从所有可能路径计算某个结果的总概率。
- 将每条路径上的概率相乘得到联合概率
- 对所有通向所求结果的路径的联合概率求和
- 确认所有联合概率的和等于1
3. 两个事件的贝叶斯定理 ★★★☆☆ ⏱ 7 min
P(B|A) = \frac{P(A|B) P(B)}{P(A)}, \quad P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')
4. 适用于多个事件的扩展贝叶斯定理 ★★★☆☆ ⏱ 6 min
对于$n$个互斥且穷尽的事件$B_1, B_2, ..., B_n$，贝叶斯定理可以直接扩展，用于计算任意单个事件的后验概率：
P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) P(B_i)}{\sum_{k=1}^n P(A|B_k) P(B_k)}
Common Pitfalls
Why: 混淆了哪个是限制样本空间的已知事件
Why: 把相关抽取当作独立事件，导致联合概率错误
Why: 忽略基础比率，混淆条件概率的方向
Why: 贝叶斯定理的分母依赖于包含所有可能结果且不重叠的条件