直线与平面的交点和夹角（仅限HL） — IB 数学 AA HL
IB 数学 AA HL · 几何与三角学 · 15 min read
1. 直线与平面的交点 ★★★☆☆ ⏱ 5 min
Exam tip: 在得出无交点或无穷多交点的结论前，一定要先判断属于哪一种情况。
2. 直线与平面的夹角 ★★★★☆ ⏱ 5 min
直线与平面法向量的夹角为 $90^\circ - \theta$，因此利用两个向量夹角的点积公式可得恒等式 $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}$。绝对值保证了我们得到的是锐角。
3. 两个相交平面的夹角 ★★★★☆ ⏱ 5 min
IB考试几乎总是要求两个平面之间的锐角。只有在题目明确要求钝角时，才可以省略绝对值。
Common Pitfalls
Why: 你混淆了直线与法向量的夹角和线面角本身
Why: 法向量的点积可能为负，说明法向量之间的夹角是钝角；除非另有说明，否则二面角永远取锐角
Why: 考试中赶时间，你误读了题目：题目要求的是交点，而不只是参数
Why: 你忘记了直线与平面相交有三种可能情况
Quick Reference Cheatsheet