棣莫弗定理

IB 数学：分析与方法 HL· Unit 1: Number & Algebra, Topic 1.9 Complex numbers· 25 分钟阅读

1. 整数次幂的棣莫弗定理★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

棣莫弗定理（整数次幂）

$z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}$

对于任意整数 $n$ ， $z$ 的n次幂为 $z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ) = r^{n} e^{in θ}$ 。该定理对正整数和负整数 $n$ 均成立。

例:

适用于 $n = 10, n = - 3$ 等情况。

📐 例题

用棣莫弗定理计算 $(1 + i 3)^{6}$ 的值。

1
1. 将 $z = 1 + i 3$ 转换为极坐标形式：
2
模长： $r = 1^{2} + (3)^{2} = 2$ ，辐角： $θ = \frac{π}{3}$
3
$z = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\right)$
4
1. 代入 $n = 6$ 应用棣莫弗定理：
5
$z^6 = 2^6\left(\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(6 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) = 64(\cos 2\pi + i\sin 2\pi)$
6
1. 化简得到最终结果：
7
$z^6 = 64(1 + 0i) = 64$

2. 求复数的n次方根★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

复数的n次方根

对于给定非零复数 $z$ ，满足 $w^{n} = z$ 的任意复数 $w$ ，其中 $n$ 为正整数。所有非零 $z$ 都恰好有 $n$ 个不同的n次方根。

模长为 $r$ 的复数的所有n次方根，均匀分布在以原点为圆心、半径为 $r^{1/ n}$ 的圆上，相邻根之间的辐角差为 $\frac{2 π}{n}$ 。

📐 例题

求 $8 i$ 的所有不同三次方根。

1
1. 将 $8 i$ 写成一般极坐标形式：
2
$z = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right), \quad k \in \mathbb{Z}$
3
1. 设根为 $w = ρ (cos ϕ + i sin ϕ)$ ，根据棣莫弗定理得 $w^{3} = z$ ：
4
$\rho^3 (\cos 3\phi + i\sin 3\phi) = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right)$
5
1. 等式两边模长和辐角相等： $ρ^{3} = 8 ⟹ ρ = 2$ ，且 $3 ϕ = \frac{π}{2} + 2 k π ⟹ ϕ = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}$
6
1. 代入 $k = 0, 1, 2$ 得到3个不同根：
7
- $k = 0 : 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6}) = 3 + i$
- $k = 1 : 2 (cos \frac{5 π}{6} + i sin \frac{5 π}{6}) = - 3 + i$
- $k = 2 : 2 (cos \frac{3 π}{2} + i sin \frac{3 π}{2}) = - 2 i$

3. 推导三角恒等式★★★★☆⏱ 15 min

IB考试中常见的题型要求推导用 $sin θ$ 和 $cos θ$ 的幂表示的 $sin n θ$ 和 $cos n θ$ 恒等式，这类问题需要结合棣莫弗定理和二项式定理求解。

📐 例题

用棣莫弗定理推导 $cos 3 θ$ 关于 $cos θ$ 的表达式。

1
1. 根据棣莫弗定理：
2
$\cos 3\theta + i\sin 3\theta = (\cos\theta + i\sin\theta)^3$
3
1. 用二项式定理展开右侧：
4
$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta + 3i^2\cos\theta\sin^2\theta + i^3\sin^3\theta$
5
1. 化简 $i$ 的幂，合并实部和虚部：
6
$= \left(\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta\right) + i\left(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta\right)$
7
1. 等式两边实部相等，然后代入 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ ：
8
$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1-\cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

✓ 快速检测

检验你的理解：

用相同方法推导得到的 $sin 3 θ$ 的正确恒等式是哪一个？
- $3 sin θ - 4 sin^{3} θ$
- $4 sin^{3} θ - 3 sin θ$
- $3 cos θ - 4 cos^{3} θ$

4. 常见陷阱

错误做法:

求n次方根时忘记在辐角上加 $2 k π$

原因:

只会得到一个根而非全部n个不同根，导致失分。

正确做法:

除以n前始终将原辐角写为 $θ + 2 k π$ ，再取 $k = 0, 1, ..., n - 1$ 。

错误做法:

将 $z^{n}$ 的模长错记为 $n ∣ z ∣$ ，而非 $∣ z ∣^{n}$ 。

原因:

复数的模长性质常被错记为可加性，实际应为可乘性。

正确做法:

始终记住 $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ ，绝非 $n ∣ z ∣$ 。

错误做法:

推导恒等式展开二项式时出现符号错误。

原因:

展开时常遗漏i的幂产生的负项。

正确做法:

合并项前分步化简i的幂： $i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1$ 。

错误做法:

直接对直角坐标形式的复数应用棣莫弗定理。

原因:

该定理仅适用于极坐标/指数形式，直接应用会得到错误结果。

正确做法:

应用棣莫弗定理前始终先转换为极坐标形式。

5. 速查表

场景	公式 / 规则
$z = r (cos θ + i sin θ)$ 的整数次幂	$z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$
$z = r (cos (θ + 2 k π) + i sin (θ + 2 k π))$ 的n次方根	Roots: $r^{1/ n} (cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i sin (\frac{θ + 2 k π}{n})), k = 0, ..., n - 1$
推导 $cos n θ$	Equate real parts of $(cos θ + i sin θ)^{n}$
推导 $sin n θ$	Equate imaginary parts of $(cos θ + i sin θ)^{n}$
n次单位根	Roots = $e^{\frac{2 k π i}{n}}, k = 0, ..., n - 1$ , equally spaced on unit circle

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棣莫弗定理是IB AA HL中所有复数进阶内容的基础工具，它经常出现在与多项式、三角学、辐角性质等其他主题结合的考题中。掌握本主题是理解单位根的前提，单位根可应用于多项式因式分解和复平面几何，这两者都是HL试卷中常见的拓展问答题。在本主题的基础上，你将探索复数更高级的性质及其在微积分中的应用。

→线性方程组
→函数