线性方程组

IB 数学：分析与方法 HL· 45 分钟阅读

1. 矩阵表示与几何意义★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

增广矩阵

$aug (A ∣ b)$

对于方程组 $A x = b$ ，增广矩阵将系数矩阵 $A$ 和常数向量 $b$ 合并，用于行变换运算。

例:

对于方程组 $2 x + y = 5, x - 3 y = - 1$ ，增广矩阵为 $aug (A ∣ b) = (21 1 - 3 5 - 1)$

$n$ 元线性方程对应 $n$ 维空间中的一个超平面。对于2元和3元的情况，分别对应二维空间中的直线和三维空间中的平面，方程组的解集就是这些图形的交集。

唯一解：所有图形恰好交于一点
无穷多解：图形交于一条直线或完全重合
无解：所有方程没有公共交点

📐 例题

描述二元不相容线性方程组的几何意义。

1
二元线性方程组中的每个方程都对应二维空间中的一条直线。
2
不相容方程组没有解，因此不存在同时在两条直线上的点。
3
这种情况仅当两条直线平行且不重合时发生，即斜率相同但截距不同。

Exam tip:

被要求时，务必将代数解类型与几何意义关联起来——这通常是一个单独的得分点。

2. 求解方法：逆矩阵与克莱姆法则★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

对于方阵方程组（ $n$ 个方程， $n$ 个变量） $A x = b$ ，若 $A$ 可逆（ $det (A) \neq = 0$ ），则方程组有唯一解，可以直接用逆矩阵或克莱姆法则求解。

📘 定义

克莱姆法则

对于3×3方程组 $A x = b$ ，将 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $b$ 得到 $A_{i}$ 。当 $det (A) \neq = 0$ 时，解为 $x_{i} = \frac{d e t ( A _{i} )}{d e t ( A )}$ 。

📐 例题

用克莱姆法则求解方程组 $2 x + y = 7$ ， $x - 2 y = 6$ 。

1
写出系数矩阵 $A$ 和常数向量 $b$ ：
2
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix}$
3
计算 $det (A)$ ：
4
$\det(A) = (2)(-2) - (1)(1) = -5 \neq 0$
5
构造 $A_{1}$ （将第1列替换为 $b$ ）和 $A_{2}$ （将第2列替换为 $b$ ）：
6
$A_1 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$
7
计算行列式：
8
$\det(A_1) = -20, \quad \det(A_2) = 5$
9
求解得：
10
$x = \frac{-20}{-5} = 4, \quad y = \frac{5}{-5} = -1$

3. 行化简（高斯消元法）★★★☆☆⏱ 25 min

高斯消元法是适用于任意方程组的最灵活方法，包括非方阵方程组、无解和无穷多解的方程组。它使用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，再通过回代求解。

📐 例题

用高斯消元法求方程组 $x + 2 y - z = 3$ ， $2 x - y + 2 z = 1$ ， $3 x + y + z = 4$ 的所有解。

1
写出增广矩阵：
2
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$
3
消去第2行和第3行的 $x$ ： $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ ， $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ ：
4
$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -5 & 4 & -5 \\ 0 & -5 & 4 & -5 \end{pmatrix}$
5
消去第3行的 $y$ ： $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ ：
6
$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -5 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
7
最后一行全为零，因此存在一个自由变量。令 $z = t$ ， $t \in R$ 。
8
回代求解 $y$ ： $- 5 y + 4 t = - 5 ⟹ y = 1 - \frac{4}{5} t$
9
回代求解 $x$ ： $x + 2 (1 - \frac{4}{5} t) - t = 3 ⟹ x = 1 + \frac{13}{5} t$
10
通解（无穷多解）为：
11
$x = 1 + \frac{13}{5}t, \quad y = 1 - \frac{4}{5}t, \quad z = t, \quad t \in \mathbb{R}$

Exam tip:

对于无穷多解，务必清晰说明自由参数并写出完整通解，才能获得满分。

4. 利用鲁歇-卡佩利定理对解类型分类★★★★☆⏱ 20 min

📘 定义

鲁歇-卡佩利定理

方程组 $A x = b$ 有解的充要条件是 $rank (A) = rank (aug (A ∣ b))$ 。若秩相等：(1) 秩 = 变量个数 → 唯一解，(2) 秩 < 变量个数 → 无穷多解。若秩不相等 → 无解。

📐 例题

求使得方程组 $x + 2 y - 3 z = 4$ ， $2 x + 3 y + 2 z = 2$ ， $3 x + 5 y - k z = 8$ 无解的 $k$ 值。

1
写出增广矩阵：
2
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 3 & 5 & -k & 8 \end{pmatrix}$
3
行化简： $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ ， $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ ，然后 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ ：
4
$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 8 & -6 \\ 0 & 0 & 1 - k & 2 \end{pmatrix}$
5
无解的条件是 $rank (A) < rank (aug)$ ，这发生在 $z$ 的系数为零，但常数项非零的时候。
6
令 $1 - k = 0 ⟹ k = 1$ 。当 $k = 1$ 时，最后一行变为 $[000 ∣ 2]$ ，矛盾，因此无解。

5. 常见陷阱

错误做法:

当 $det (A) = 0$ 时仍使用克莱姆法则

原因:

克莱姆法则仅适用于有唯一解的方程组，无法求出无穷多解或确认不相容性

正确做法:

先检查 $det (A)$ ，当 $det (A) = 0$ 时用行化简对解分类

错误做法:

假设所有 $det (A) = 0$ 的方程组都不相容

原因:

$det (A) = 0$ 仅说明没有唯一解，方程组仍可能有无穷多解

正确做法:

行化简后检查增广矩阵的秩，确认是否不相容

错误做法:

写无穷多解时不引入自由参数

原因:

阅卷者要求完整通解，而不只是一个特解

正确做法:

每个非主元列引入一个自由参数，将所有变量表示为参数的函数

错误做法:

行化简时将一行乘以零

原因:

这会擦除该行的所有信息，改变方程组的解集

正确做法:

高斯消元时仅将行乘以非零常数

错误做法:

用克莱姆法则求解后跳过解的验证

原因:

计算行列式时微小的符号错误就会导致错解，且很容易被忽略

正确做法:

务必将解代回原方程组验证

6. 速查表

解类型	秩条件	三维几何意义
唯一解	$rank (A) = rank (aug) = 3$	三个平面交于一点
无穷多解（共线）	$rank (A) = rank (aug) = 2$	三个平面交于一条公共直线
无穷多解（共面）	$rank (A) = rank (aug) = 1$	三个平面全部重合
无解	$rank (A) < rank (aug)$	至少两个平面平行，或没有公共交点

下一步

线性方程组是IB AA HL中许多后续主题的基础，尤其是三维空间向量，你会在那里使用类似方法求直线与平面的交点。解类型分类也是处理矩阵特征值与特征向量问题、以及后续微积分单元中求解线性微分方程组的核心技能。掌握高斯消元法和基于秩的分类，不仅能帮助你解决本主题的考题，还能在整个大纲的多步骤问题中节省时间。