微积分 (Calculus) — IB Math AA HL AA HL 学习指南

适合谁：IB Math AA HL 参加 IB Math: Analysis & Approaches HL 的考生。

覆盖内容：极限与连续性、第一性原理求导、乘积/商/链式微分法则、换元与分部积分、旋转体体积、可分离微分方程、麦克劳林级数全部考纲要求内容。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学，熟悉证明与代数推导。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AA HL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是微积分？

微积分（Calculus）是研究函数变化率（微分）与累积量（积分）的数学分支，是IB Math AA HL的核心考察模块，占卷面总分的25%-30%，包含SL基础内容与HL专属拓展内容，是申请理工科、商科专业的必备数学基础。考纲中本模块对应Topic 5，要求考生同时掌握理论推导和实际应用能力，既会考公式推导，也会结合几何、物理场景考察应用。

2. 极限、连续性与第一性原理求导

核心概念

极限（limit）指函数的自变量$x$趋近某一取值$a$时，函数值的趋近结果，记为${\lim }_{x\to a}f(x)$。 函数在$x=a$处连续（continuity）的充要条件是：$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$$ 第一性原理求导（derivative from first principles）是导数的定义式，所有微分法则均由此推导，是高频考点：$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

范例

用第一性原理求$f(x)=2x^2$的导数：

1. 代入定义式：${\lim }_{h\to 0}\frac{2(x+h{)}^2-2x^2}{h}$
2. 展开分子：${\lim }_{h\to 0}\frac{2x^2+4xh+2h^2-2x^2}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{4xh+2h^2}{h}$
3. 约去非零的$h$：${\lim }_{h\to 0}(4x+2h)=4x$

3. 微分法则：乘积、商、链式法则

当求复杂函数的导数时，可直接使用以下推导好的法则，无需每次用第一性原理：

1. 乘积法则（product rule）：针对两个函数相乘$y=u\cdot v$，有$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
2. 商法则（quotient rule）：针对两个函数相除$y=\frac{u}{v}$，有${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
3. 链式法则（chain rule）：针对复合函数$y=f(g(x))$，设$u=g(x)$，有$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

范例

求$y=e^{3x}\cos 2x$的导数：

• 设$u=e^{3x}$，由链式法则得$u^{\prime }=3e^{3x}$；设$v=\cos 2x$，得$v^{\prime }=-2\sin 2x$
• 代入乘积法则：$y^{\prime }=3e^{3x}\cos 2x+e^{3x}\cdot (-2\sin 2x)=e^{3x}(3\cos 2x-2\sin 2x)$

4. 积分：换元法、分部积分（HL专属）

积分是微分的逆运算，HL要求掌握两种进阶积分方法：

1. 换元积分（integration by substitution）：适合复合函数积分，通过替换变量简化被积式，例如求$\int 3x^2\sin (x^3)dx$，设$u=x^3$，$du=3x^{2}dx$，积分化简为$\int \sin udu=-\cos u+C=-\cos (x^3)+C$
2. 分部积分（integration by parts）：HL必考，针对两个不同类型函数相乘的积分，公式为$\int udv=uv-\int vdu$，选$u$的优先级为LIATE（对数>反三角>代数>三角>指数）

范例

求$\int x\ln xdx$：

• 按优先级选$u=\ln x$，$dv=xdx$，得$du=\frac{1}{x}dx$，$v=\frac{x^2}{2}$
• 代入公式：$\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$

5. 旋转体体积

曲线绕坐标轴旋转形成的立体体积是微分的几何应用，考纲要求两种情况：

• 绕$x$轴旋转，$x$取值范围为$[a,b]$：$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$
• 绕$y$轴旋转，$y$取值范围为$[c,d]$：$V=\pi {\int }_c^d[g(y){]}^{2}dy$（$g(y)$为$x$关于$y$的表达式）

范例

求$y=\sqrt{x}$从$x=0$到$x=4$绕$x$轴旋转的体积：

• 代入公式：$V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx$
• 计算积分：$\pi {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4=\pi (\frac{16}{2}-0)=8\pi$

6. 微分方程：可分离型（HL专属）

可分离微分方程（separable differential equation）是HL微分方程的核心考点，形式为$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，求解步骤为：将$x$和$y$的项分离到等式两侧，两边分别积分，代入初始条件求常数。

范例

解微分方程$\frac{dy}{dx}=3x^{2}y$，初始条件$y(0)=2$：

1. 分离变量：$\int \frac{1}{y}dy=\int 3x^{2}dx$
2. 两边积分：$\ln |y|=x^3+C$
3. 代入初始条件$x=0,y=2$得$C=\ln 2$
4. 整理得$y=2e^{x^3}$

7. 麦克劳林级数（HL专属）

麦克劳林级数（Maclaurin series）是函数在$x=0$处的泰勒展开，将任意可导函数展开为无穷幂级数，通式为：$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$ 常见需要记忆的展开：

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$
• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

8. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误做法：第一性原理求导时直接代入$h=0$导致分母为0报错；原因：混淆$h$趋近于0和等于0的概念；正确做法：先展开分子合并同类项，约去非零的$h$后再代入$h=0$求值。
2. 错误做法：商法则分子写成$u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$，符号搞反；原因：和乘积法则记混，忽略商法则的减法顺序；正确做法：记忆口诀“导上乘下减上乘导下，分母平方”，写完后立刻检查符号。
3. 错误做法：分部积分时$u$和$dv$选反，导致积分越来越复杂；原因：不知道选$u$的优先级规则；正确做法：按LIATE优先级选$u$，剩下的部分作为$dv$。
4. 错误做法：求旋转体体积时忘记给函数平方，或者漏乘$\pi$；原因：记混曲线下面积和旋转体体积公式；正确做法：写公式时先写$\pi$，再写积分，被积函数先平方再积分。
5. 错误做法：解可分离微分方程时漏掉常数$C$，或者初始条件代入错误；原因：觉得常数不重要，积分后忘记代入初始值；正确做法：积分完立刻写常数$C$，再代入初始条件求出具体值后再整理表达式。

9. 练习题（IB Math AA HL 风格）

题1

用第一性原理求$f(x)=x^3+3x$的导数。 解答： $$ \begin{align*} f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^3+3(x+h)-(x^3+3x)}{h}\ &=\lim_{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+3x+3h-x^3-3x}{h}\ &=\lim_{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3+3h}{h}\ &=\lim_{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2+3)\ &=3x^2+3 \end{align*} $$

题2（HL）

求$\int x{e}^{2x}dx$。 解答： 按LIATE选$u=x$，$dv=e^{2x}dx$，得$du=dx$，$v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$ 代入分部积分公式： $$ \begin{align*} \int x e^{2x}dx&=\frac{x}{2}e^{2x}-\int \frac{1}{2}e^{2x}dx\ &=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+C \end{align*} $$

题3（HL）

求$y=x^2$从$x=0$到$x=2$绕$y$轴旋转的体积。 解答： 先改写为$x=\sqrt{y}$，$y$取值范围为$[0,4]$，代入绕$y$轴体积公式： $$ \begin{align*} V&=\pi\int_{0}^{4}(\sqrt{y})^2dy\ &=\pi\int_{0}^{4}y dy\ &=\pi\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4\ &=8\pi \end{align*} $$

10. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

11. 接下来怎么学

微积分是IB AA HL的核心考点，后续还会衔接泰勒级数、微分方程数值解法、运动学微积分应用等拓展内容，掌握本章基础是冲击7分的必要前提，你可以结合历年Paper 1、Paper 2、Paper 3的真题，针对薄弱点进行专项训练，尤其要重点练习HL专属的分部积分、微分方程、麦克劳林级数题型。 如果遇到任何不会的题目、知识点理解有障碍，都可以随时到小欧主页提问，我们会给你针对性的解答和练习建议。