不等式

Q: 每次将不等式两边同除以一个数时都需要翻转不等号吗？

不需要，只有当你将不等式两边同时乘以或除以负数时，才需要翻转不等号。如果乘除的是正数，不等号方向保持不变。

Q: 在数轴上表示不等式时，如何选择使用空心圆点还是实心圆点？

对于边界值不包含在解集中的严格不等式（<、），使用空心圆点。对于边界值包含在解集中的非严格不等式（≤、≥），使用实心填充圆点。

Q: （仅高阶内容）如何确定二次不等式对应的正确区域？

首先求出对应二次方程的根（临界值）。对于开口向上的抛物线（系数为正），二次式在根的外侧大于0，在两根之间小于0。如果对区域判断不确定，可以代入一个数值进行验证。

爱德思国际普通中等教育证书数学A· 2.8· 20 分钟阅读

1. 不等式符号与数轴表示★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

不等号

四个核心不等号分别为：<（小于，严格）、>（大于，严格）、≤（小于等于，非严格）、≥（大于等于，非严格）。双向不等式同时包含两个条件，例如 $2 < x \leq 7$ 表示x大于2且小于等于7。

在数轴上表示不等式时，严格不等式（不包含边界值）使用空心圆点，非严格不等式（包含边界值）使用实心填充圆点。

📐 例题

在数轴上表示不等式 $- 1 \leq x < 3$ 。

1
确定边界值： $x = - 1$ 和 $x = 3$ 。
2
对于 $x = - 1$ ，不等式使用 $\leq$ ，因此在-1位置绘制实心填充圆点。
3
对于 $x = 3$ ，不等式使用 $<$ ，因此在3位置绘制空心圆点。
4
绘制一条实线连接两个圆点，表示两点之间的所有值都属于解集。

Exam tip:

请务必在数轴上清晰标注边界值和整数刻度。正确的线段位置和圆点类型都会得分，因此作答完成后请再次核对这两点再继续下一题。

2. 求解线性不等式★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

求解线性不等式的规则与求解线性方程几乎完全相同，只有一个关键例外：如果将不等式两边同时乘以或除以负数，必须翻转不等号的方向。

📐 例题

求解 $5 - 2 x \geq 9$ 并在数轴上表示解集。

1
两边同时减去5： $- 2 x \geq 4$
2
两边同时除以-2，并翻转不等号： $x \leq - 2$
3
在数轴上表示：在-2处画实心圆点，向左延伸一条实线，表示所有小于等于-2的数值都包含在解集中。

📐 例题

求解双边不等式 $4 < 2 x + 6 \leq 12$ 。

1
不等式的三端同时减去6： $4 - 6 < 2 x \leq 12 - 6$ ，化简后得到 $- 2 < 2 x \leq 6$
2
三端同时除以2（2为正数，因此不等号方向无需改变）： $- 1 < x \leq 3$

3. 笛卡尔坐标系中的不等式★★★☆☆⏱ 5 min

要在笛卡尔坐标系中表示线性不等式，首先画出对应线性方程的边界线。对于严格不等式（<、>），边界线为虚线；对于非严格不等式，边界线为实线（爱德思IGCSE基础单元不强制要求边界线规范标记，但建议保持画法一致）。随后对满足所有给定不等式的区域进行涂色。

📐 例题

对同时满足三个不等式 $x \geq 0$ 、 $y \geq x$ 、 $x + y \leq 4$ 的区域进行涂色，将该区域标记为R。

1
画出边界线 $x = 0$ （即y轴）：该线为实线，对直线右侧的区域涂色。
2
画出边界线 $y = x$ ：该线为实线，对直线上方的区域涂色（测试点(0,2)： $2 \geq 0$ ，成立）。
3
画出边界线 $x + y = 4$ （整理为 $y = - x + 4$ ）：该线为实线，对直线下方的区域涂色（测试点(0,0)： $0 + 0 \leq 4$ ，成立）。
4
涂色区域的重叠部分同时满足三个不等式，将该区域标记为R。

Exam tip:

始终选取不在边界线上的点进行测试（例如若(0,0)不在边界线上则可选用该点），确认直线的哪一侧满足不等式。这可以避免因记错涂色规则而产生的错误。对于高阶考试单元，你可能会遇到更复杂的边界线，例如 $y = 2 x + 1$ 或 $5 x + 2 y = 20$ ，使用完全相同的方法即可。

4. （仅高阶单元要求）求解二次不等式★★★★☆Higher 专属⏱ 4 min

✓ 计算器

📘 定义

临界值

不等式对应的二次方程的根，构成了解集的边界。

对于 $x^{2}$ 系数为正的二次不等式（开口向上的抛物线）：若不等式为>0，解集为两个临界值外侧的所有数值；若不等式为<0，解集为两个临界值之间的所有数值。如果你不确定对应的区域，务必代入一个数值进行验证。

📐 例题

求解 $x^{2} - 3 x - 10 < 0$ ，并在数轴上表示出解集。

1
求解对应的二次方程 $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ，得到临界值。
2
$(x-5)(x+2) = 0 \implies x=5, x=-2$
3
该不等式为<0，且 $x^{2}$ 的系数为正，因此解集为两个根之间的所有数值： $- 2 < x < 5$
4
在数轴上表示：在-2和5处画空心圆点，用实线将两点连接，表示两点之间的所有数值都包含在解集中。

5. 常见陷阱

错误做法:

Forgetting to reverse the inequality sign when multiplying/dividing by a negative number

原因:

Multiplying/dividing by a negative reverses the order of values, so the inequality direction must flip to keep the statement true

正确做法:

Whenever you multiply or divide both sides of an inequality by a negative number, immediately flip < to >, ≤ to ≥, or vice versa.

错误做法:

Using the wrong circle type on number lines (closed for strict, open for non-strict)

原因:

This incorrectly shows whether the boundary value is included in the solution set, costing easy method marks

正确做法:

Use open circles for <, >; closed filled circles for ≤, ≥. Double check circle types before moving to the next question.

错误做法:

Shading the wrong region on Cartesian graphs

原因:

You mixed up the side of the line that satisfies the inequality, leading to an incorrect region

正确做法:

Always test a point not on the boundary line (e.g. (0,0) if it is not on the line) to confirm which side of the line satisfies the inequality.

错误做法:

(Higher only) Choosing the wrong region for quadratic inequalities (e.g. picking between roots for $x^{2} > a$ )

原因:

You forgot the shape of the parabola, or did not test a value to confirm the region

正确做法:

For positive $x^{2}$ coefficient: > 0 = solution outside roots, < 0 = solution between roots. Test a value in the region to confirm if unsure.

错误做法:

Splitting double-ended inequalities into two separate inequalities unnecessarily, leading to arithmetic errors

原因:

Unnecessary extra steps increase the chance of calculation mistakes and sign errors

正确做法:

Apply operations (add, subtract, multiply, divide) to all three parts of the double-ended inequality at the same time to keep calculations simple.

6. 速查表

Task	Foundation Tier Rule	Higher Tier Addendum
Interpret symbols	<: open circle, >: open circle, ≤: closed circle, ≥: closed circle	Same as foundation
Solve linear inequalities	Same steps as linear equations, reverse sign if ×/÷ by negative	Same as foundation
Number line representation	Connect correct circle types with solid line for solution set	Same for linear; open circles for strict quadratic inequalities
Graph shading	Draw boundary lines, shade overlapping region, label with R	Handle complex linear boundaries (e.g. 5x+2y=20) using same method
Solve quadratic inequalities	Not required	Find critical values, positive $x^{2}$ : >0 = outside roots, <0 = between roots

7. 常见问题

每次将不等式两边同除以一个数时都需要翻转不等号吗？

不需要，只有当你将不等式两边同时乘以或除以负数时，才需要翻转不等号。如果乘除的是正数，不等号方向保持不变。

在数轴上表示不等式时，如何选择使用空心圆点还是实心圆点？

对于边界值不包含在解集中的严格不等式（<、>），使用空心圆点。对于边界值包含在解集中的非严格不等式（≤、≥），使用实心填充圆点。

（仅高阶内容）如何确定二次不等式对应的正确区域？

首先求出对应二次方程的根（临界值）。对于开口向上的抛物线（ $x^{2}$ 系数为正），二次式在根的外侧大于0，在两根之间小于0。如果对区域判断不确定，可以代入一个数值进行验证。

深入阅读

specification爱德思4MA1 2016年考试大纲请参考第2.8节查看官方要求
study_guide线性方程
study_guide二次方程

下一步

Now that you have mastered inequalities for Edexcel IGCSE Maths A, you can apply these skills to tackle more complex algebra topics and exam-style questions. Inequalities are often combined with other topics like sequences, graphs, and optimisation problems in Higher tier papers, so practicing mixed-topic questions will help you prepare for full-mark responses. Make sure you complete both Foundation and Higher tier past paper questions to test your understanding of all conventions and problem types for this topic.

→Quadratic Equations (Higher Tier)