二次方程

爱德思国际普通中等教育证书数学A· 2.7· 25 分钟阅读

1. 求解基础层级二次方程（$x^2 + bx + c = 0$）★★☆☆☆Foundation / Higher 专属⏱ 5 min

📘 定义

二次方程（基础形式）

首项系数为1的二次方程，形式为 $x^{2} + b x + c = 0$ ，基础层级要求可通过因式分解求解。

基础层级中，你仅需要求解 $x^{2}$ 的系数为1的二次方程。首先将所有项移到左侧，使方程右侧等于0。找到两个整数，二者乘积为 $c$ 、和为 $b$ ，随后将二次式改写为两个一次括号的乘积。令每个括号分别等于0，即可求出两个根。

📐 例题

求解 $x^{2} + x - 30 = 0$

1
确认方程为右侧等于0的标准形式： $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = - 30$
2
找到两个乘积为-30、和为1的整数：6和-5
3
对左侧进行因式分解： $(x + 6) (x - 5) = 0$
4
令每个括号等于0并求解： $x + 6 = 0 ⟹ x = - 6$ ， $x - 5 = 0 ⟹ x = 5$

Exam tip:

务必反复检查因式对的符号：如果 $c$ 为负，两个因式的符号相反；如果 $c$ 为正，两个因式的符号与 $b$ 的符号相同。

2. 高层级通用二次方程因式分解（$a \neq 1$）★★★☆☆Higher 专属⏱ 5 min

高层级考试中，你可能需要对首项系数 $a$ 不为1的二次式，或是以非标准展开形式（例如带括号）给出的二次式进行因式分解。首先展开所有括号，将所有项移项整理得到右侧等于0的标准形式方程，你可以通过观察法或分组法对表达式进行因式分解。

📐 例题

求解 $x (3 x - 2) = 5$

1
展开并整理为标准形式： $3 x^{2} - 2 x - 5 = 0$
2
找到两个乘积为 $a \times c = 3 (- 5) = - 15$ 、和为 $b = - 2$ 的整数：-5和3
3
拆分中间项并分组因式分解： $3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5 = 3 x (x + 1) - 5 (x + 1) = (3 x - 5) (x + 1) = 0$
4
求解 $x$ ： $3 x - 5 = 0 ⟹ x = \frac{5}{3}$ ， $x + 1 = 0 ⟹ x = - 1$

Exam tip:

如果你难以快速对二次式进行因式分解，可以直接使用二次求根公式，该方法不需要进行因式分解。

3. 使用公式或配方法求解二次方程★★★★☆Higher 专属⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

二次求根公式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

可用于计算任意标准形式二次方程根的公式，在拓展层级（Higher tier）考试的公式表中提供。

当因式分解不可行或过于繁琐时，可使用二次求根公式或配方法。二次求根公式适用于所有有解的二次方程，而配方法在你需要得到根式精确解时尤其有用。

📐 例题

求解 $2 x^{2} - 3 x - 7 = 0$ ，答案保留两位小数

1
识别系数（包括符号）： $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = - 7$
2
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 56}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{4}$
3
计算近似值： $65 \approx 8.062$ ，因此 $x \approx \frac{3 + 8.062}{4} = 2.77$ 且 $x \approx \frac{3 - 8.062}{4} = - 1.27$

📐 例题

使用配方法求解 $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ ，答案保留根式精确形式

1
将 $x^{2} + 6 x$ 项改写为完全平方加常数的形式： $(x + 3)^{2} - 9$
2
代回原方程： $(x + 3)^{2} - 9 + 4 = 0 ⟹ (x + 3)^{2} = 5$
3
等号两边同时开平方（需包含 $\pm$ ）： $x + 3 = \pm 5$
4
求解 $x$ ： $x = - 3 \pm 5$

Exam tip:

如果题目要求精确解，请勿将根式转换为小数，保留根号形式以避免丢失精度分数。

4. 构建并求解实际场景中的二次方程★★★★☆Higher 专属⏱ 4 min

你将遇到各类现实场景（例如面积计算、数字问题、运动问题），需要先自行构建二次方程再进行求解。务必检查得到的解在题目场景下是否合理——例如长度、时间或物品数量不能为负数，因此这类情况下你需要舍去所有负根。

📐 例题

一个长方形的长比宽多3厘米，长方形的面积为 $40 c m^{2}$ ，求该长方形的宽。

1
定义变量：设宽为 $x$ 厘米，则长为 $x + 3$ 厘米
2
根据面积公式构建方程： $x (x + 3) = 40$
3
整理为标准形式： $x^{2} + 3 x - 40 = 0$
4
因式分解并求解： $(x + 8) (x - 5) = 0 ⟹ x = - 8$ 或 $x = 5$
5
舍去不符合实际的负解：宽为5厘米

Exam tip:

在解答实际应用题时，务必在开头清晰说明你定义的变量是什么，这样阅卷老师更容易看懂你的解题过程。

5. 求解一次-二次联立方程★★★★☆Higher 专属⏱ 5 min

对于包含一个一次方程和一个二次方程的方程组，可将一次方程中某一变量的表达式直接代入二次方程，得到仅含单个变量的二次方程，之后你可以使用上述任意方法求解。通常你会得到第一个变量的两个值，将每个值代回一次方程求出对应的第二个变量值，即可得到两组完整的解。

📐 例题

求解以下联立方程： $y = 2 x - 11$ 和 $x^{2} + y^{2} = 25$

1
将 $y = 2 x - 11$ 代入二次方程： $x^{2} + (2 x - 11)^{2} = 25$
2
展开并化简： $x^{2} + 4 x^{2} - 44 x + 121 = 25 ⟹ 5 x^{2} - 44 x + 96 = 0$
3
因式分解并求解 $x$ ： $(5 x - 24) (x - 4) = 0 ⟹ x = 4.8$ 或 $x = 4$
4
代回求 $y$ ：当 $x = 4$ 时， $y = 2 (4) - 11 = - 3$ ；当 $x = 4.8$ 时， $y = 2 (4.8) - 11 = - 1.4$
5
最终解为： $(4, - 3)$ 和 $(4.8, - 1.4)$

Exam tip:

务必将两组解代回两个原方程进行验证——这类题型中展开括号时出现计算错误的情况非常普遍。

6. 常见陷阱

错误做法:

Forgetting to rearrange the quadratic equation to equal 0 before applying solving methods

原因:

Factorisation, the quadratic formula, and completing the square only work for equations in standard form with RHS = 0, so you will get incorrect roots if you skip this step

正确做法:

Always move all terms to the left-hand side so the right-hand side is 0 before using any quadratic solving method

错误做法:

Dropping the $\pm$ sign when using the quadratic formula or completing the square

原因:

Quadratic equations can have up to two distinct real roots, and the $\pm$ sign accounts for both solutions

正确做法:

Always include the $\pm$ symbol when taking the square root of both sides or applying the quadratic formula

错误做法:

Sign errors when identifying $a, b, c$ for the quadratic formula

原因:

The quadratic formula relies on the correct sign of all coefficients, so even small sign errors lead to completely wrong calculations

正确做法:

Write the standard form equation clearly, circle each coefficient including its sign, before substituting into the formula

错误做法:

Keeping invalid negative solutions in contextual problems

原因:

Real-world quantities like length, time, or number of items cannot be negative, so these solutions are not valid

正确做法:

After solving a contextual quadratic, check each solution against the problem scenario and discard any impossible values

错误做法:

Only finding one solution pair for linear-quadratic simultaneous equations

原因:

The quadratic equation usually has two roots, each corresponding to a full $(x, y)$ solution pair

正确做法:

After finding both $x$ -values, substitute each back into the linear equation to find both corresponding $y$ -values

错误做法:

Converting exact surd/fraction solutions to decimals when not requested

原因:

Exact solutions are required unless a specific decimal accuracy is stated, so converting them loses accuracy marks

正确做法:

Leave solutions as fractions or surds unless the question explicitly asks for a rounded decimal value

7. 速查表

Method	Suitable For	Key Steps	Tier
Factorisation ( $a = 1$ )	$x^{2} + b x + c = 0$ with integer factors	Rearrange to =0 2. Find factors of $c$ that sum to $b$ 3. Solve for $x$	Foundation / Higher
General Factorisation ( $a \neq = 1$ )	$a x^{2} + b x + c = 0$ with integer factors	Rearrange to =0 2. Find factors of $a \times c$ that sum to $b$ 3. Factor by grouping	Higher
Quadratic Formula	All quadratic equations	Identify $a, b, c$ 2. Substitute into formula 3. Simplify to exact/decimal form	Higher
Completing the Square	Quadratics requiring exact surd solutions	Rewrite $x^{2} + b x$ as perfect square 2. Isolate squared term 3. Solve for $x$	Higher
Linear-Quadratic Systems	1 linear + 1 quadratic equation	Substitute linear into quadratic 2. Solve for first variable 3. Find second variable	Higher

8. 常见问题

求解二次方程前是否需要将方程整理为右侧等于0的形式？

是的，因式分解、二次求根公式和配方法都要求方程右侧等于0，才能得到正确结果。

高层级考试中我需要背诵二次求根公式吗？

不需要，二次求根公式会印在高层级公式表上，不过熟悉该公式可以帮你在考试中节省时间。

二次方程有多少个解？

最多有两个不同的实数解；部分方程可能有一个重根，但本考纲不考察复数根相关内容。

深入阅读

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practice_pack二次方程考试练习题分不同层级的题目，附带评分标准

下一步

Now that you have mastered quadratic equations for Edexcel IGCSE Mathematics A, you are ready to build on this foundational skill for more advanced algebra topics. Quadratic equations appear frequently in later content including quadratic graph sketching, quadratic inequalities (specification point 2.8), and kinematics problems in the applied section of the course. Practise as many exam-style questions as possible, focusing on both accuracy and speed, as quadratics are tested in almost every Higher and Foundation tier paper. Make sure you only revise content relevant to your tier to avoid wasting time on out-of-scope material.