幂与根

爱德思国际普通中等教育证书数学A· 1.4· 25 分钟阅读

1. 平方、立方及其根（基础级）★☆☆☆☆⏱ 5 min

平方数是整数自乘得到的乘积，立方数是整数自乘两次得到的乘积。一个数的平方根是平方后等于原数的非负值，立方根是立方后等于原数的值（当原数为负数时，立方根也为负数）。

📘 定义

平方与立方规则

平方数：对整数 $n$ ，有 $n^{2} = n \times n$ 。平方根： $n^{2} = ∣ n ∣$ 。立方数：对整数 $n$ ，有 $n^{3} = n \times n \times n$ 。立方根： $3 n^{3} = n$ 。

📐 例题

计算(a) $1 2^{2}$ ，(b) $169$ ，(c) $5^{3}$ ，(d) $3 - 27$

1
(a) 将12自乘： $12 \times 12 = 144$
2
(b) 找到平方后等于169的正整数： $1 3^{2} = 169$ ，因此 $169 = 13$
3
(c) 将5自乘三次： $5 \times 5 \times 5 = 125$
4
(d) 找到立方后等于-27的整数： $(- 3)^{3} = - 27$ ，因此 $3 - 27 = - 3$

Exam tip:

熟记前15个平方数和前10个立方数，可在考试中节省计算时间。

2. 整数次幂的指数定律（全等级适用）★★☆☆☆⏱ 7 min

指数表示法通过底数和幂（指数）来高效地表示重复乘法。指数定律可让你无需完全展开就化简含幂的表达式，节省计算时间。

📘 定义

整数指数定律

对于任意非零底数 $x$ ：

$x^{m} \times x^{n} = x^{m + n}$
$x^{m} \div x^{n} = x^{m - n}$
$(x^{m})^{n} = x^{mn}$
$x^{0} = 1$
$x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}$

📐 例题

化简并计算(a) $3^{4} \times 3^{2}$ ，(b) $7^{5} \div 7^{3}$ ，(c) $(2^{3})^{4}$ ，(d) $9^{0}$ ，(e) $4^{- 2}$

1
(a) 运用指数乘法定律： $3^{4 + 2} = 3^{6} = 729$
2
(b) 运用指数除法定律： $7^{5 - 3} = 7^{2} = 49$
3
(c) 运用幂的乘方定律： $2^{3 \times 4} = 2^{12} = 4096$
4
(d) 运用零指数规则： $9^{0} = 1$
5
(e) 运用负指数规则： $4^{- 2} = \frac{1}{4 ^{2}} = \frac{1}{16}$

Exam tip:

在运用指数乘除定律前，务必确认幂的底数完全相同。

3. 质因数分解、最大公因数与最小公倍数（全等级适用）★★☆☆☆⏱ 6 min

任意正整数都可以表示为若干个质数的幂次的乘积，这一形式被称为该数的质因数分解形式。该形式是计算两个或多个数的最大公因数（HCF）和最小公倍数（LCM）的最快方法。

📘 定义

最大公因数与最小公倍数运算规则

最大公因数（HCF）：所有数共有的每个质因数的最低次幂的乘积。最小公倍数（LCM）：所有出现于任意一个数中的质因数的最高次幂的乘积。

📐 例题

将72和90表示为质因数的乘积，随后计算它们的最大公因数和最小公倍数。

1
使用因数树对72进行质因数分解： $72 = 2^{3} \times 3^{2}$
2
使用因数树对90进行质因数分解： $90 = 2^{1} \times 3^{2} \times 5^{1}$
3
计算最大公因数：取共有质因数（2、3）的最低次幂： $2^{1} \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18$
4
计算最小公倍数：取所有质因数（2、3、5）的最高次幂： $2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1} = 8 \times 9 \times 5 = 360$

Exam tip:

使用因数树可以快速将大数分解为质因数，同时要交叉验证你算出的最大公因数可以完全整除两个输入数。

4. 分数指数与负指数（仅高阶课程要求）★★★☆☆Higher 专属⏱ 7 min

在高阶考试模块中，你需要计算包含分数指数的表达式，这类表达式结合了幂次和开方运算。分数指数的分母对应开方的次数，分子则是将开方得到的结果再取幂的次数。

📘 定义

分数指数运算法则

对于正底数 $x$ ： $x^{\frac{a}{b}} = (b x)^{a} = b x^{a}$ 。结合负指数运算法则，可计算形如 $x^{- \frac{a}{b}} = \frac{1}{x ^{\frac{a}{b}}}$ 的表达式。

📐 例题

计算下列各式的值：(a) $8^{\frac{2}{3}}$ ，(b) $62 5^{- \frac{1}{2}}$ ，(c) $(\frac{1}{25})^{\frac{3}{2}}$

1
(a) 先开三次方再平方： $(38)^{2} = 2^{2} = 4$
2
(b) 先应用负指数法则，再开平方： $\frac{1}{625} = \frac{1}{25}$
3
(c) 先开平方再取三次方： $(\frac{1}{25})^{3} = (\frac{1}{5})^{3} = \frac{1}{125}$

Exam tip:

计算分数指数时优先开根号，可保持数值较小，避免算术运算错误。

5. 无理根式与分母有理化（仅高阶课程要求）★★★☆☆Higher 专属⏱ 7 min

无理根式是正整数的无理根，例如 $2$ 或 $7$ 。你需要化简无理根式并对分母进行有理化（移除分数分母中的无理根式），以得到精确结果，而非近似小数值。

📘 定义

无理根式运算法则

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
对仅含单个无理根式的分母有理化：将分子和分母同时乘以该无理根式。
对形如$a + b\sqrt{c}$的分母有理化：将分子和分母同时乘以其共轭式$a - b\sqrt{c}$。

📐 例题

(a) 化简 $8 + 332$ ，(b) 将 $\frac{2}{7}$ 分母有理化，(c) 将 $\frac{3}{2 + 5}$ 分母有理化

1
(a) 先分别化简每个无理根式： $8 = 22$ ， $332 = 3 \times 42 = 122$ 。合并同类项： $22 + 122 = 142$
2
(b) 将分子和分母同时乘以 $7$ ： $\frac{2 7}{7 \times 7} = \frac{2 7}{7}$
3
(c) 将分子和分母同时乘以共轭式 $2 - 5$ ： $\frac{3 ( 2 - 5 )}{( 2 + 5 ) ( 2 - 5 )} = \frac{6 - 3 5}{4 - 5} = - 6 + 35$

Exam tip:

除非题目明确允许，否则分母中不能保留无理根式，否则会被扣分。

6. 常见陷阱

错误做法:

Applying multiplication/division index laws to expressions with different bases, e.g. $2^{3} \times 3^{2} = 6^{5}$

原因:

Index operations only work when the base of all terms is identical

正确做法:

Calculate each term separately before multiplying: $8 \times 9 = 72$

错误做法:

Writing $- 16 = - 4$ , assuming negative numbers have real square roots

原因:

Squares of real numbers are always non-negative, so square roots of negative numbers are not real at this level

正确做法:

Only calculate cube roots of negative numbers; leave square roots of negative numbers as undefined for this syllabus

错误做法:

Calculating the power first for fractional indices leading to very large numbers, e.g. $8^{5/3} = 3276 8^{1/3}$

原因:

Calculating the power first creates unnecessarily large values that are hard to work with

正确做法:

Compute the root first to get a smaller number: $(38)^{5} = 2^{5} = 32$

错误做法:

Using only common prime factors to calculate LCM, e.g. LCM of 72 and 90 = $2^{3} \times 3^{2} = 72$

原因:

LCM must be divisible by both input numbers, so needs all primes from both factorisations

正确做法:

Use the highest power of every prime present in either number: LCM of 72 and 90 = $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$

错误做法:

Rationalising $\frac{1}{2 + 3}$ by multiplying only by $3$

原因:

This leaves a cross term with a surd still in the denominator

正确做法:

Multiply numerator and denominator by the conjugate $2 - 3$ to eliminate the surd via difference of squares

7. 速查表

Concept	Rule	Tier
Square/Cube Calculations	$n^{2} = n \times n$ , $n^{2} = ∣ n ∣$ , $n^{3} = n \times n \times n$ , $3 n^{3} = n$	Foundation
Integer Index Laws	$x^{m} \times x^{n} = x^{m + n}$ , $x^{m} \div x^{n} = x^{m - n}$ , $(x^{m})^{n} = x^{mn}$ , $x^{0} = 1$ , $x^{- n} = 1/ x^{n}$	Foundation
HCF via Prime Factors	Product of lowest power of common primes	Foundation
LCM via Prime Factors	Product of highest power of all primes present	Foundation
Fractional Indices	$x^{a / b} = (b x)^{a}$	Higher
Surd Simplification	$ab = a \times b$	Higher
Rationalise Denominator	Multiply by surd (single) or conjugate ( $a + b c$ )	Higher

8. 常见问题

考试的公式表中会给出指数定律吗？

不会，无论是基础级还是高阶考试，你都必须熟记全部5条指数定律。

我什么时候需要对无理根式分母进行有理化？

除非题目明确说明不需要，否则在解答高阶无理根式题目时必须始终将分母有理化，才能拿到全部分数。

按照本大纲的要求，负数的平方根可以计算吗？

不可以，实数平方根仅对非负数存在。在本考试要求范围内，负数仅存在实数立方根。

深入阅读

下一步

Now you have mastered powers and roots for Edexcel IGCSE Maths A, you can move on to algebraic index manipulation (section 2.1 of the specification), which applies the same index laws you have learned to expressions with variables. You should also practice applying these rules to real-world arithmetic problems, and work through tier-specific past paper questions to build speed and accuracy. For Higher tier students, make sure you are confident with surd manipulation before moving on to quadratic formula problems, which often require simplified exact surd answers.

→Quadratic Equations (Higher)