连续随机变量（Edexcel IAL 数学 S2）

Q: 从pdf推导CDF时需要加入积分常数吗？

不需要。CDF满足和，因此积分常数会被这些边界条件唯一确定。对于分段pdf，要确保CDF在区间边界处连续。

Q: pdf的取值可以大于1吗？

可以。和概率不同，pdf的取值衡量的是密度而非直接概率。只有整个pdf曲线下的总面积必须等于1，当分布集中在很窄的区间上时，单个点的pdf取值可以大于1。

Q: 如何求分段pdf的众数？

在定义域的所有区间上计算的最大值。在每个连续区间上对求导检查驻点，再和区间边界处的取值比较，找到全局最大值。

数学· 2018 Issue 3 WST02· 25 分钟阅读

1. 连续随机变量的定义与核心性质★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

连续随机变量（CRV）

可以在连续的可能结果范围内取任意值，而非离散独立值的随机变量。概率通过其概率密度函数下的面积计算。

和S1中介绍的离散随机变量不同，连续随机变量 $X$ 取单个精确值的概率 $P (X = a)$ 恒为0，因此对所有 $a < b$ 都有 $P (a < X < b) = P (a \leq X \leq b) = P (a < X \leq b) = P (a \leq X < b)$ 。

📐 例题

判断以下每个变量是否为合法的连续随机变量：(a) 随机选取的一名17岁学生的身高，(b) 抛掷一枚公平硬币10次得到的正面朝上次数，(c) 一名跑步者完成5公里赛跑的耗时。

1
(a) 身高可以在连续范围内取任意值（例如165.3cm、165.34cm），因此这是一个连续随机变量。
2
(b) 正面朝上的次数只能取0到10之间的整数值，因此这是离散随机变量，不是连续的。
3
(c) 赛跑耗时可以取任意正实数值，因此这是一个连续随机变量。

Exam tip:

如果考题要求你计算连续随机变量的 $P (X = k)$ ，你可以直接写出答案0，无需任何计算。

2. 概率密度函数（pdf）与累积分布函数（CDF）★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

概率密度函数（pdf, $f(x)$）

用于计算连续随机变量概率的函数，满足两个核心条件：1. 对所有实数 $x$ 都有 $f (x) \geq 0$ ，2. 全实数域上曲线下的总面积等于1： $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1$ 。

区间概率通过对pdf在该区间上积分计算： $P (a < X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

📘 定义

累积分布函数（CDF, $F(x)$）

给出 $X$ 取值小于等于 $x_{0}$ 的概率的函数： $F (x_{0}) = P (X \leq x_{0}) = \int_{- \infty}^{x_{0}} f (t) d t$ 。它是一个非递减函数，满足 $F (- \infty) = 0$ 和 $F (+ \infty) = 1$ 。

pdf和CDF通过求导直接关联： $f (x) = \frac{d F ( x )}{d x}$ 。这一关系让你可以根据需要在两种表示形式之间转换。

📐 例题

连续随机变量 $X$ 的pdf为 $f (x) = {k x (2 - x) 0 0 \leq x \leq 2 otherwise$ 。(a) 求常数 $k$ 的值。(b) 计算 $P (0.5 < X < 1.5)$ 。(c) 求CDF $F (x)$ 。

1
(a) 使用pdf的总面积条件：
2
$\int_0^2 kx(2-x) dx = k \int_0^2 (2x - x^2) dx = k \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = k \left(4 - \frac{8}{3}\right) = k \cdot \frac{4}{3} = 1$
3
求解 $k$ ： $k = \frac{3}{4}$ 。
4
(b) 在区间[0.5, 1.5]上对pdf积分：
5
$P(0.5 < X < 1.5) = \frac{3}{4} \int_{0.5}^{1.5} (2x - x^2) dx = \frac{3}{4} \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0.5}^{1.5}$
6
$= \frac{3}{4} \left( \left(2.25 - 1.125\right) - \left(0.25 - 0.0417\right) \right) = \frac{3}{4} \times 0.9167 = 0.6875 = \frac{11}{16}$
7
(c) 将CDF拆分为三个区间：<0、0≤x≤2、>2。当 $x < 0$ 时， $F (x) = 0$ 。当 $x > 2$ 时， $F (x) = 1$ 。当 $0 \leq x \leq 2$ 时：
8
$F(x) = \frac{3}{4} \int_0^x (2t - t^2) dt = \frac{3}{4} \left[ t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_0^x = \frac{3x^2 - x^3}{4}$
9
最终CDF： $F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{3 x ^{2} - x ^{3}}{4} 1 x < 0 0 \leq x \leq 2 x > 2$

Exam tip:

一定要检查分段区间边界处的CDF是否连续。CDF出现不连续说明积分存在错误，考试中你会因此失分。

3. 连续随机变量的均值与方差★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

连续随机变量的期望（均值）和方差使用公式手册中给出的公式，通过对pdf积分计算。方差的计算公式使用 $V a r (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ ，和离散随机变量的公式一致。

📘 定义

连续随机变量的期望与方差

均值： $μ = E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x$ 。 $X$ 的函数的期望： $E (g (X)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f (x) d x$ 。方差： $σ^{2} = V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{2} f (x) d x - μ^{2}$ 。

📐 例题

使用上一个例题中的pdf（ $f (x) = \frac{3}{4} x (2 - x)$ ， $0 \leq x \leq 2$ ），计算(a) $E (X)$ ，(b) $E (3 X + 2)$ ，(c) $V a r (X)$ 。

1
(a) 计算E(X)：
2
$E(X) = \int_0^2 x \cdot \frac{3}{4}(2x - x^2) dx = \frac{3}{4} \int_0^2 (2x^2 - x^3) dx = \frac{3}{4} \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^2$
3
$= \frac{3}{4} \left( \frac{16}{3} - 4 \right) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1$
4
(b) 使用期望的线性性质： $E (a X + b) = a E (X) + b$ 。因此 $E (3 X + 2) = 3 E (X) + 2 = 3 (1) + 2 = 5$ 。
5
(c) 首先计算E(X²)：
6
$E(X^2) = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{3}{4}(2x - x^2) dx = \frac{3}{4} \int_0^2 (2x^3 - x^4) dx = \frac{3}{4} \left[ \frac{x^4}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2$
7
$= \frac{3}{4} \left( 8 - 6.4 \right) = \frac{3}{4} \times 1.6 = 1.2 = \frac{6}{5}$
8
然后Var(X) = E(X²) - [E(X)]² = $\frac{6}{5} - 1^{2} = \frac{1}{5} = 0.2$

Exam tip:

期望的线性性质对随机变量的所有线性组合都成立，因此你不需要为 $E (2 X + 5)$ 这类函数重新积分：使用该性质可以在考试中节省时间。

4. 众数、中位数与四分位数★★★★☆⏱ 6 min

✓ 计算器

连续随机变量的位置度量包括众数、中位数和四分位数，各自使用不同的规则通过pdf或CDF计算，详情如下。

📘 定义

连续随机变量的位置度量

众数： $x$ 取使得 $f (x)$ 达到最大值的取值。中位数：满足 $F (m) = 0.5$ 的 $m$ 值。下四分位数 $Q_{1}$ ：满足 $F (Q_{1}) = 0.25$ 的值。上四分位数 $Q_{3}$ ：满足 $F (Q_{3}) = 0.75$ 的值。任意百分位数 $p$ 是满足 $F (x_{p}) = p /100$ 的 $x_{p}$ 值。

📐 例题

使用和之前例题相同的pdf和CDF，求(a) $X$ 的众数，(b) $X$ 的中位数，(c) 上四分位数 $Q_{3}$ 。

1
(a) 求 $f (x) = \frac{3}{4} (2 x - x^{2})$ 在 $0 \leq x \leq 2$ 上的最大值。对 $f (x)$ 关于 $x$ 求导：
2
$f'(x) = \frac{3}{4}(2 - 2x) = \frac{3}{2}(1 - x)$
3
令导数等于零： $1 - x = 0 ⟹ x = 1$ 。检查二阶导数为负（确认是最大值）： $f^{''} (x) = - \frac{3}{2} < 0$ 。因此众数为1。
4
(b) 中位数 $m$ 满足 $F (m) = 0.5$ 。使用之前得到的CDF：
5
$\frac{3m^2 - m^3}{4} = 0.5 \implies 3m^2 - m^3 = 2 \implies m^3 - 3m^2 + 2 = 0$
6
对三次方程因式分解： $m = 1$ 是根，因此分解为 $(m - 1) (m^{2} - 2 m - 2) = 0$ 。只有 $m = 1$ 位于区间[0,2]内，因此中位数为1。
7
(c) 上四分位数 $Q_{3}$ 满足 $F (Q_{3}) = 0.75$ ：
8
$\frac{3Q_3^2 - Q_3^3}{4} = 0.75 \implies 3Q_3^2 - Q_3^3 = 3 \implies Q_3^3 - 3Q_3^2 + 3 = 0$
9
数值求解（允许使用计算器）： $Q_{3} \approx 1.35$ （保留两位小数）。

Exam tip:

求解中位数/四分位数对应的三次方程时，首先测试分布定义域内的整数值，它们通常是方程的根。如果不是，使用试位法或计算器的方程求解器达到要求的精度即可。

5. 常见陷阱

错误做法:

误以为pdf的取值不能大于1，将其直接当作概率处理

原因:

pdf衡量的是密度而非概率。只有pdf下的总面积等于1，当分布集中在很窄的区间上时，单个点的取值可以大于1。

正确做法:

通过检查曲线下的总面积是否等于1来验证pdf的合法性，而不是检查单个 $f (x)$ 的取值。

错误做法:

计算分段pdf的CDF时忘记累加之前区间的累积概率

原因:

CDF累加了所有小于 $x$ 的概率，跳过之前的区间会得到不连续的错误CDF。

正确做法:

对于分段pdf，将 $F (x)$ 计算为所有左侧区间的总面积加上当前区间从起点到 $x$ 的积分之和。

错误做法:

将方差计算为 $E (X^{2})$ 而非 $E (X^{2}) - (E (X))^{2}$

原因:

方差衡量的是围绕均值的离散程度，因此必须减去均值的平方才能得到正确结果。

正确做法:

代入数值之前先写出完整的方差公式，避免漏掉相减的步骤。

错误做法:

求中位数时令 $f (m) = 0.5$ ，错误使用pdf而非CDF

原因:

中位数是下方累积概率为50%的点，由CDF定义，和pdf的高度无关。

正确做法:

求中位数、四分位数和百分位数时始终使用CDF，令 $F (x) = p$ 得到所需的累积概率 $p$ 。

错误做法:

将连续随机变量的 $P (X = a)$ 计算为非零值

原因:

连续随机变量有无穷多个可能的结果，因此取任意单个精确值的概率都是0。

正确做法:

遇到连续随机变量的 $P (X = a)$ 问题直接回答0，计算区间概率时忽略等号的差异。

6. 速查表

量	公式	关键说明
$P (a < X \leq b)$	$\int_{a}^{b} f (x) d x$	等于 $F (b) - F (a)$
CDF $F (x)$	$\int_{- \infty}^{x} f (t) d t$	$F (- \infty) = 0$ ， $F (+ \infty) = 1$ ，非递减
由CDF求pdf	$f (x) = \frac{d F ( x )}{d x}$	对分段CDF的每个区间分别求导
均值 $E (X)$	$\int x f (x) d x$	$E (a X + b) = a E (X) + b$
方差 $V a r (X)$	$\int x^{2} f (x) d x - (E (X))^{2}$	公式手册中已给出
众数	$f (x)$ 的最大值	检查边界点和驻点
中位数 $m$	$F (m) = 0.5$	使用CDF求解
四分位数	$F (Q_{1}) = 0.25$ , $F (Q_{3}) = 0.75$	必要时使用数值方法

7. 常见问题

从pdf推导CDF时需要加入积分常数吗？

不需要。CDF满足 $F (- \infty) = 0$ 和 $F (+ \infty) = 1$ ，因此积分常数会被这些边界条件唯一确定。对于分段pdf，要确保CDF在区间边界处连续。

pdf的取值可以大于1吗？

可以。和概率不同，pdf的取值衡量的是密度而非直接概率。只有整个pdf曲线下的总面积必须等于1，当分布集中在很窄的区间上时，单个点的pdf取值可以大于1。

如何求分段pdf的众数？

在定义域的所有区间上计算 $f (x)$ 的最大值。在每个连续区间上对 $f (x)$ 求导检查驻点，再和区间边界处的取值比较，找到全局最大值。

深入阅读

formula_bookEdexcel IAL 数学公式与统计表官方公式手册，供练习参考

下一步

掌握连续随机变量之后，你就可以继续学习命名连续分布，首先是连续均匀（矩形）分布，这是Edexcel IAL S2的下一个核心主题。你可以将这里学到的所有技能（pdf/CDF运算、均值、方差、中位数和众数计算）应用到这个标准化分布上，之后再学习本单元后续的假设检验和抽样分布内容。确保你练习足够多的过往真题，因为该知识点经常作为独立的8-12分大题考察，也经常和S2其他知识点结合出现在考试后半部分。要特别注意分段函数，Edexcel IAL S2试卷中超过70%的连续随机变量相关题目都涉及分段函数。