求导（Edexcel IAL 纯数学1）

Q: P1求导部分我需要使用链式法则/乘积法则/商法则吗？

不需要，根据Edexcel P1大纲要求，所有待求导函数都可以先展开或化简为项的和的形式再求导。进阶求导规则仅在P2和P3部分考察。

Q: 我可以在P1考试中使用二阶导数求驻点吗？

不可以，驻点分类和最优化问题明确不属于P1考察范围。你仅需要会计算，并能解释它作为斜率变化率的概念含义即可。

数学· P1 4.1–4.3· 20 分钟阅读

1. 什么是导数？★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📘 定义

导数

$f^{'} (x)$ or $\frac{d y}{d x}$

曲线 $y = f (x)$ 在指定点处的切线斜率，代表y相对于x的瞬时变化率。

例:

如果 $f (t)$ 表示随时间变化的行驶距离，那么 $f^{'} (t)$ 就是瞬时速度。

从第一性原理求导用到极限的基础概念：你取曲线上间隔为微小增量 $h$ 的两个点，计算两点之间弦的斜率，再令 $h$ 趋近于0，就得到切线的斜率。对于P1考试，你只需要理解这个概念，不需要从第一性原理证明求导规则。

📘 定义

二阶导数

$f^{''} (x)$ or $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$

对函数的一阶导数再次求导得到的结果，代表曲线斜率的变化率。

📐 例题

已知函数 $f (t) = 3 t + 2 t^{2}$ 表示小球在t秒时刻的高度（单位：米），说明 $f^{'} (t)$ 和 $f^{''} (t)$ 分别代表什么物理意义。

1
$f^{'} (t)$ 是高度对时间的一阶导数，代表小球的瞬时竖直速度，单位为 $m s^{- 1}$ 。
2
$f^{''} (t)$ 是高度对时间的二阶导数，代表小球的瞬时竖直加速度，单位为 $m s^{- 2}$ 。

Exam tip:

如果题目要求你结合场景解释导数的含义，尽可能带上对应单位，即可拿到全部分数。

2. 对x的幂次求导★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

P1考试核心求导规则适用于所有形如 $a x^{n}$ 的项，其中a是常数，n是任意有理数（正数、负数、分数均可）。

📘 定义

求导幂法则

对于函数 $f (x) = a x^{n}$ ，其一阶导数为 $f^{'} (x) = an x^{n - 1}$ 。对多个项的和或差求导时，对每一项分别求导再将结果相加或相减即可。

对任意函数求导前，先将其化简或展开为独立的 $a x^{n}$ 项之和。P1考试不需要使用乘积法则、商法则或链式法则：所有给定函数都可以改写为上述形式。

📐 例题

对 $y = 4 x^{3} + 2 x - \frac{3}{x ^{2}}$ 关于x求导，再计算二阶导数 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

1
先将所有项改写为 $a x^{n}$ 的形式：
2
$y = 4x^3 + 2x^{\frac{1}{2}} - 3x^{-2}$
3
对每一项应用幂法则得到一阶导数：
4
$\frac{dy}{dx} = (3 \times 4)x^{2} + (\frac{1}{2} \times 2)x^{-\frac{1}{2}} - (-2 \times 3)x^{-3}$
5
化简一阶导数：
6
$\frac{dy}{dx} = 12x^2 + x^{-\frac{1}{2}} + 6x^{-3}$
7
再次对一阶导数的每一项应用幂法则求导，得到二阶导数：
8
$\frac{d^2y}{dx^2} = 24x - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} - 18x^{-4}$

Exam tip:

求导前务必将平方根、立方根以及分母含x的项改写为指数形式，避免出现计算错误。

3. 曲线的切线方程★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

曲线上某一点的切线是仅在该点处与曲线相交的直线，其斜率等于曲线在该x坐标处的导数值。

对曲线函数求导，得到斜率函数
将给定点的x值代入导数，得到切线的斜率
使用直线的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ，其中 $(x_{1}, y_{1})$ 是曲线上的点，m是切线斜率

📐 例题

求曲线 $y = x^{3} - 2 x + 5$ 在 $x = 2$ 处的切线方程，结果以 $a x + b y + c = 0$ 的形式给出，其中a、b、c均为整数。

1
首先计算 $x = 2$ 处对应的y坐标：
2
$y = 2^3 - 2(2) +5 = 8 -4 +5 = 9. \text{ 该点坐标为 } (2, 9)$
3
对曲线求导得到斜率函数：
4
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$
5
代入 $x = 2$ 计算切线斜率：
6
$m = 3(2)^2 - 2 = 12 - 2 = 10$
7
使用点斜式整理为要求的形式：
8
$y - 9 = 10(x - 2) \rightarrow 10x - y - 11 = 0$

Exam tip:

一定要先算出点对应的正确y坐标：很多考生忘记计算这一步，直接把x值当成y值，白白丢分。

4. 曲线的法线方程★★★★☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

曲线的法线

过曲线上某一点、且与该点处切线垂直的直线。

例:

如果某点处切线的斜率为3，那么同一点处法线的斜率为 $- \frac{1}{3}$ 。

两条互相垂直的直线斜率乘积为-1，因此如果切线斜率为 $m_{t}$ ，法线斜率为 $m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ 。剩下的求解法线方程的步骤和求解切线方程完全一致。

📐 例题

求曲线 $y = 2 x^{2} - \frac{1}{x}$ 在 $x = 1$ 处的法线方程，结果以 $y = m x + c$ 的形式给出。

1
计算 $x = 1$ 处对应的y坐标：
2
$y = 2(1)^2 - \frac{1}{1} = 2 - 1 = 1. \text{ 该点坐标为 } (1, 1)$
3
将函数改写为指数形式后求导：
4
$y = 2x^2 - x^{-1} \rightarrow \frac{dy}{dx} = 4x + x^{-2}$
5
计算 $x = 1$ 处的切线斜率：
6
$m_t = 4(1) + 1^{-2} = 4 +1 = 5$
7
计算法线斜率，即切线斜率的负倒数：
8
$m_n = -\frac{1}{5}$
9
使用点斜式整理为要求的形式：
10
$y -1 = -\frac{1}{5}(x -1) \rightarrow y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5}$

Exam tip:

如果切线斜率为0（水平切线），那么法线是一条形如 $x = x_{1}$ 的竖直线，此时法线斜率不存在。注意该特殊情况，避免出现除零错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

不先展开/化简函数，直接尝试使用乘积/商/链式法则求导。

原因:

Edexcel P1的题目设计为不需要使用这些进阶规则即可求解，强行使用会导致不必要的错误、浪费时间，一旦应用错误还会丢分。

正确做法:

求导前务必将所有项改写为独立的 $a x^{n}$ 形式（展开括号、化简指数、将根式/分母项改写为指数形式），再应用幂法则。

错误做法:

将x坐标代入原曲线函数而不是导数来计算切线/法线的斜率。

原因:

原函数只能得到点的y值，无法得到斜率，最终会得到错误的直线方程。

正确做法:

先对曲线求导得到斜率函数，再将x值代入导数，得到切线或法线的斜率。

错误做法:

直接使用切线斜率计算法线方程，没有取负倒数。

原因:

法线和切线互相垂直，二者斜率乘积为-1，并不相等。

正确做法:

得到切线斜率 $m_{t}$ 后，计算法线斜率为 $m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ （除非 $m_{t} = 0$ ，此时法线是竖直线 $x = x_{1}$ ）。

错误做法:

应用幂法则时忘记将指数减1，尤其是处理负指数或分数指数的时候。

原因:

这是非常常见的计算错误，会导致导数结果错误，后续所有计算全部出错。

正确做法:

求导前清晰写下每一项的指数，将指数减1，对负指数和分数指数做双重检查。

错误做法:

在P1考试中使用二阶导数分类驻点。

原因:

驻点及其分类明确不属于P1考察范围，相关作答不会得分，还会浪费考试时间。

正确做法:

只有在题目明确要求时才计算二阶导数，仅解释它作为斜率变化率的含义，不要在P1考试中用它做驻点分析。

6. 速查表

概念	规则 / 公式
导数含义	曲线的切线斜率， $f (x)$ 的瞬时变化率
幂法则	$\frac{d}{d x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ ，适用于任意有理数n
二阶导数	对一阶导数再次求导： $f^{''} (x) = \frac{d}{d x} (f^{'} (x))$
切线斜率	点 $(x_{1}, y_{1})$ 处的切线斜率 $m_{t} = f^{'} (x_{1})$
法线斜率	$m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ （与切线垂直）
直线方程	已知点 $(x_{1}, y_{1})$ 和斜率m，方程为 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$

7. 常见问题

P1求导部分我需要使用链式法则/乘积法则/商法则吗？

不需要，根据Edexcel P1大纲要求，所有待求导函数都可以先展开或化简为 $a x^{n}$ 项的和的形式再求导。进阶求导规则仅在P2和P3部分考察。

我可以在P1考试中使用二阶导数求驻点吗？

不可以，驻点分类和最优化问题明确不属于P1考察范围。你仅需要会计算 $f^{''} (x)$ ，并能解释它作为斜率变化率的概念含义即可。

深入阅读

syllabusEdexcel IAL 数学2018版P1官方大纲P1求导内容的官方大纲文件

下一步

掌握P1求导内容后，你就可以进阶学习P2中的更高级求导内容，包括驻点、链式法则和最优化问题。这些内容直接建立在你已经学会的幂法则和直线方程技能之上，因此请确保你可以熟练完成幂次项求和的求导、求解切线/法线方程后再继续学习。后续应用类单元，包括力学1中的运动学、统计1中的变化率问题，也会用到求导相关技能。