积分（Edexcel IAL 数学 P3 WMA13）

Q: 对ln形式的积分我需要写绝对值符号吗？

是的，当你对或者积分时，必须在自然对数的自变量两侧添加绝对值符号，因为对数仅对正值有定义。在Edexcel考试中每遗漏一次绝对值符号会被扣1分。

Edexcel 国际 A-Level 数学· 2018 考纲第3版，单元P3 §5· 20 分钟阅读

1. P3 标准积分★★☆☆☆⏱ 5 min

下方列出了你在P3阶段必须掌握的核心标准积分集合。所有这些都是不定积分，因此你必须在每一个最终结果后添加积分常数 $c$ 。

📘 定义

标准积分

一组常见函数的反导数，可以直接应用，也可以应用于函数的线性组合。

例:

$\int 3 cos 2 x d x = \frac{3}{2} sin 2 x + c$

$\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + c$
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + c, x \neq = 0$
$\int sin k x d x = - \frac{1}{k} cos k x + c$
$\int cos k x d x = \frac{1}{k} sin k x + c$
$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{l n a} + c$

📐 例题

求 $\int (2 e^{5 x} + \frac{3}{2 x} - 4 sin 3 x) d x$

1
使用标准积分规则分别对每一项积分：
2
$\int 2e^{5x} dx = 2 \times \frac{1}{5}e^{5x} = \frac{2}{5}e^{5x}$
3
$\int \frac{3}{2x} dx = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x} dx = \frac{3}{2}\ln|x|$
4
$\int -4\sin 3x dx = -4 \times \left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) = \frac{4}{3}\cos 3x$
5
合并所有结果并添加积分常数 $c$ ：
6
$\frac{2}{5}e^{5x} + \frac{3}{2}\ln|x| + \frac{4}{3}\cos 3x + c$

Exam tip:

对 $1/ (k x)$ 积分时，先把 $1/ k$ 提出来避免出错： $\int 1/ (2 x) d x = (1/2) ln ∣ x ∣ + c$ ，而不是 $2 ln ∣ x ∣ + c$ 。

2. 识别积分法：反向链式法则★★★☆☆⏱ 6 min

识别积分法也叫反向链式法则，可以对结构为复合函数导数的函数进行积分。P3阶段你必须掌握两种核心形式。

📘 定义

识别积分形式

$\int f'(x)[f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c, n \neq -1$,$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + c$

两种不需要换元就可以完成积分的标准反向链式法则结构。

📐 例题

求 $\int 10 x (3 x^{2} + 7)^{4} d x$

1
识别出 $f (x) = 3 x^{2} + 7$ ，因此 $f^{'} (x) = 6 x$ 。
2
积分中的项是10x，也就是 $\frac{10}{6} \times f^{'} (x) = \frac{5}{3} f^{'} (x)$ 。改写积分：
3
$\int \frac{5}{3} \times 6x(3x^2 +7)^4 dx = \frac{5}{3} \int f'(x)[f(x)]^4 dx$
4
代入第一条识别规则，令 $n = 4$ ：
5
$\frac{5}{3} \times \frac{[f(x)]^5}{5} + c = \frac{1}{3}(3x^2 +7)^5 + c$

📐 例题

求 $\int \frac{6 c o s 2 x}{s i n 2 x + 5} d x$

1
识别出 $f (x) = sin 2 x + 5$ ，因此 $f^{'} (x) = 2 cos 2 x$ 。
2
分子是 $6 cos 2 x = 3 \times 2 cos 2 x = 3 f^{'} (x)$ 。改写积分：
3
$3 \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$
4
应用第二条识别规则：
5
$3\ln|f(x)| + c = 3\ln|\sin 2x + 5| + c$

Exam tip:

对识别积分的结果求导进行校验：如果你得到了原来的被积函数，说明你的答案是正确的。这是考试中快速排查错误的好方法。

3. 使用恒等式积分三角函数★★★★☆⏱ 5 min

很多三角积分无法直接用标准规则求解，因此你需要先用三角恒等式改写被积函数，把它转化为可以直接积分的形式。

📘 定义

P3积分核心三角恒等式

二倍角恒等式和毕达哥拉斯恒等式，用于将平方三角函数改写为可积分的线性形式。

例:

$sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ ， $cos^{2} x = \frac{1 + c o s 2 x}{2}$ ， $tan^{2} x = sec^{2} x - 1$

📐 例题

求 $\int tan^{2} 3 x d x$

1
使用毕达哥拉斯恒等式 $tan^{2} θ = sec^{2} θ - 1$ ，令 $θ = 3 x$ ：
2
$\int (\sec^2 3x - 1) dx$
3
分别对两项积分，使用公式手册给出的 $\int sec^{2} k x d x$ 结果：
4
$\int \sec^2 3x dx = \frac{1}{3}\tan 3x$
5
$\int -1 dx = -x$
6
合并结果并添加积分常数：
7
$\frac{1}{3}\tan 3x - x + c$

📐 例题

求 $\int 4 cos^{2} 2 x d x$

1
应用余弦平方的二倍角恒等式： $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ ，令 $θ = 2 x$ ：
2
$4 \times \int \frac{1 + \cos 4x}{2} dx = 2 \int (1 + \cos 4x) dx$
3
逐项积分：
4
$2 \left( x + \frac{1}{4}\sin 4x \right) + c$
5
化简最终结果：
6
$2x + \frac{1}{2}\sin 4x + c$

Exam tip:

一定要先写下你使用的恒等式来展示步骤。即使后续出现算术错误，Edexcel也会为正确应用恒等式给分。

4. 考试风格混合积分练习★★★★☆⏱ 4 min

P3考试题目经常在同一道题中结合多种积分技巧，要求你为被积函数的每一部分选择正确的规则或恒等式。

📐 例题

将 $\int (tan x + 3 cos^{2} x) d x$ 化简为待积分形式（不需要计算P4范围内的内容）

1
将积分拆分为两个独立项：
2
$\int \tan x dx + \int 3\cos^2 x dx$
3
第一项：使用公式手册给出的结果 $\int tan x d x = ln ∣ sec x ∣ + c_{1}$
4
第二项：使用二倍角恒等式改写 $cos^{2} x$ ：
5
$3 \times \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{3}{2} \int 1 dx + \frac{3}{2} \int \cos 2x dx$
6
对标准项积分：
7
$\frac{3}{2}x + \frac{3}{4}\sin 2x + c_2$
8
合并所有结果，将常数合并为单个 $c$ ：
9
$\ln|\sec x| + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}\sin 2x + c$

✓ 快速检测

$\int 2 sec^{2} 5 x d x$ 的结果是什么？
显示答案
$\frac{2}{5}\tan 5x + c$ —
正确！这里使用了公式手册给出的 $\int sec^{2} k x d x = (1/ k) tan k x + c$ 结果。
积分 $sin^{2} 4 x$ 需要使用什么恒等式？
显示答案
余弦二倍角恒等式：$\sin^2 \theta = (1 - \cos 2\theta)/2$ —
正确。这个恒等式将平方正弦项改写为可以直接积分的线性形式。

5. 常见陷阱

错误做法:

在不定积分的最终结果中忘记添加积分常数 $c$

原因:

Edexcel在P3积分题中每遗漏一个积分常数会扣1分

正确做法:

无论使用什么方法，都要在每一个不定积分的最后一步添加 $+ c$

错误做法:

对 $1/ x$ 或 $f^{'} (x) / f (x)$ 积分时，在ln的自变量两侧遗漏绝对值符号

原因:

自然对数仅对正值有定义，因此绝对值是数学正确性的必要要求，遗漏会被扣分

正确做法:

对这类积分形式始终写 $ln ∣ f (x) ∣$ ，不要写 $ln (f (x))$

错误做法:

对 $sin k x$ 积分时符号出错

原因:

$cos k x$ 的导数是 $- k sin k x$ ，因此 $sin k x$ 的积分需要带负号

正确做法:

牢记 $\int sin k x d x = - \frac{1}{k} cos k x + c$ ，对结果求导进行二次校验

错误做法:

错误地将 $1/ (k x)$ 积分得到 $k ln ∣ x ∣ + c$

原因:

分母中x的系数是可以提到积分外的常数因子，最终结果中它会出现在分数的分子位置

正确做法:

将 $1/ (k x)$ 改写为 $(1/ k) (1/ x)$ ，因此积分结果是 $(1/ k) ln ∣ x ∣ + c$

错误做法:

在P3识别积分题中尝试使用换元积分或分部积分

原因:

这些方法属于P4内容，在考试中使用会浪费时间，如果步骤不完整可能无法拿到全部分数

正确做法:

P3中的反向链式法则问题使用两种识别积分形式求解

6. 速查表

积分类型	规则	备注
$\int e^{k x} d x$	$\frac{1}{k} e^{k x} + c$	需要背诵
$\int \frac{1}{x} d x$	$ln ∣ x ∣ + c$	必须包含绝对值
$\int sin k x d x$	$- \frac{1}{k} cos k x + c$	需要带负号
$\int cos k x d x$	$\frac{1}{k} sin k x + c$	不带负号
$\int f^{'} (x) [f (x)]^{n} d x$	$\frac{[ f ( x ) ] ^{n + 1}}{n + 1} + c, n \neq = - 1$	识别积分（反向链式法则）
$\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x$	$ln ∣ f (x) ∣ + c$	必须包含绝对值
$\int tan^{2} k x d x$	$\frac{1}{k} tan k x - x + c$	使用 $tan^{2} = sec^{2} - 1$
$\int sin^{2} k x d x$	$\frac{x}{2} - \frac{s i n 2 k x}{4 k} + c$	使用二倍角恒等式

7. 常见问题

对ln形式的积分我需要写绝对值符号吗？

是的，当你对 $\frac{1}{x}$ 或者 $\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ 积分时，必须在自然对数的自变量两侧添加绝对值符号，因为对数仅对正值有定义。在Edexcel考试中每遗漏一次绝对值符号会被扣1分。

P3的识别积分题我可以用换元积分法做吗？

不行，P3阶段要求你使用识别积分法来解决这类问题。换元积分是P4的知识点，在要求用识别法的题目中使用换元会浪费时间，而且如果步骤不完整可能无法拿到全部分数。

深入阅读

下一步

现在你已经掌握了P3的全部积分内容，可以继续学习纯数学4（P4）中的更高级积分技巧，包括换元积分、分部积分和部分分式积分。这些技能直接建立在你P3学到的识别积分规则之上，因此在继续学习之前请确保你能熟练识别复合函数中的 $f (x)$ 和 $f^{'} (x)$ 。你还会使用这些积分技巧来解决P4中涉及旋转体体积和可分离微分方程的高分值考题。想要更多P3练习，可以完成WMA13试卷中的历年积分题，只做要求使用标准规则、识别积分和三角恒等式的题目，定积分和面积问题属于P2内容。