微分的应用（Edexcel IAL P2）

Q: 我可以用一阶导数测试代替二阶导数测试来分类驻点吗？

可以，Edexcel IAL P2考试中两种方法都被认可。对于多项式，二阶导数测试更快，但如果，你必须使用一阶导数测试检查在附近的符号变化。

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 Issue 3 WMA12 Section 7.1· 25 分钟阅读

1. 增函数与减函数★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

如果一个函数在某区间内的一阶导数对所有 $x$ 都非负（ $f^{'} (x) \geq 0$ ），则称该函数在该区间上递增；若 $f^{'} (x) > 0$ 则为严格递增。若 $f^{'} (x) \leq 0$ 则函数递减，若 $f^{'} (x) < 0$ 则为严格递减。这是P2考试中常见的3-4分证明题。

📘 定义

增/减函数

对于定义在区间 $[a, b]$ 上的 $f (x)$ ：1. 增函数：对所有 $x \in (a, b)$ ， $f^{'} (x) \geq 0$ ；2. 减函数：对所有 $x \in (a, b)$ ， $f^{'} (x) \leq 0$

例:

$f (x) = x^{3} + 2 x$ 对所有实数 $x$ 严格递增，因为对所有 $x$ 都有 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 > 0$ 。

📐 例题

证明 $f (x) = 2 x^{3} + 5 x - 1$ 对所有实数 $x$ 严格递增。

1
使用P1幂法则计算一阶导数：
$f'(x) = 6x^2 + 5$
2
分析 $f^{'} (x)$ 的符号：对所有实数 $x$ ， $x^{2} \geq 0$ ，因此 $6 x^{2} \geq 0$ ，即对所有 $x$ 都有 $6 x^{2} + 5 \geq 5 > 0$ 。
3
得出结论：由于对所有实数 $x$ 都有 $f^{'} (x) > 0$ ，因此 $f (x)$ 对所有实数 $x$ 严格递增。

Exam tip:

证明题要拿到满分，你必须明确说明一阶导数在区间内所有取值的符号，不能只陈述它是正/负的。

2. 驻点与分类★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

驻点出现在 $f^{'} (x) = 0$ 处，意味着曲线的切线是水平的。P2中常见的两类驻点是局部极大值（峰值）和局部极小值（谷值）。你可以使用一阶导数测试（检查点附近 $f^{'} (x)$ 的符号变化）或者更快捷的二阶导数测试来对它们分类。

📘 定义

驻点

$f^{'} (c) = 0$ at $x = c$

曲线 $y = f (x)$ 上梯度为零、切线水平的点。

例:

$f (x) = x^{2}$ 在 $x = 0$ 处有一个极小值驻点，此处 $f^{'} (0) = 0$ 。

📐 例题

求并分类 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ 的驻点。

1
计算一阶导数并令其等于零，求出驻点的x值：
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0 \\ 3(x^2 - 4x + 3) = 0 \\ 3(x-1)(x-3) = 0 \\ x = 1 \text{ or } x=3$
2
计算用于分类的二阶导数：
$f''(x) = 6x - 12$
3
在每个驻点处计算 $f^{''} (x)$ ：对于 $x = 1$ ， $f^{''} (1) = 6 (1) - 12 = - 6 < 0$ ，因此这是一个局部极大值；对于 $x = 3$ ， $f^{''} (3) = 6 (3) - 12 = 6 > 0$ ，因此这是一个局部极小值。
4
计算对应的y值：极大值点为 $(1, 6)$ ，极小值点为 $(3, 2)$ 。

3. 利用微分绘制曲线★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

要绘制多项式曲线，需要结合微分得到的信息（驻点和分类）与基础坐标几何知识（截距、终态行为）。这是P2考试中常见的4-6分题目，不需要完全按比例绘图，只需要形状正确、关键点标注清晰即可。

令 $x = 0$ 求y轴截距
令 $y = 0$ 求解多项式方程，得到x轴截距
用微分求出所有驻点并分类
确定终态行为：对于最高次项 $a x^{n}$ ，若 $a > 0$ ，当 $x \to + \infty$ 时 $y \to + \infty$ ；若 $n$ 为偶数，当 $x \to - \infty$ 时 $y \to + \infty$ ，若 $n$ 为奇数则 $y \to - \infty$ 。若 $a < 0$ 则所有趋势反转。
标出所有关键点，绘制一条穿过这些点的平滑曲线。

📐 例题

绘制曲线 $y = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x$ ，标注所有截距和驻点。

1
求y轴截距：令 $x = 0$ ，得 $y = 0$ ，截距为 $(0, 0)$ 。
2
求x轴截距：令 $y = 0$ 并因式分解：
$x^3 - 3x^2 - 4x = 0 \\ x(x-4)(x+1) = 0 \\ x = -1, 0, 4$
3
求驻点：计算一阶导数并求解 $f^{'} (x) = 0$ ：
$f'(x) = 3x^2 -6x -4 = 0 \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{6} \approx 2.53 \text{ and } -0.527$
4
用二阶导数分类： $f^{''} (x) = 6 x - 6$ 。 $x = - 0.527$ 是极大值点（y≈1.13）， $x = 2.53$ 是极小值点（y≈-13.13）。
5
终态行为： $x^{3}$ 项系数为正，因此当 $x \to + \infty$ 时 $y \to + \infty$ ，当 $x \to - \infty$ 时 $y \to - \infty$ 。标出所有标注好的点，绘制平滑曲线。

Exam tip:

即使曲线形状正确，如果没有在草图上标注所有截距和驻点坐标，你也会被扣分。

4. 实际优化问题★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

优化问题要求你在给定约束下，求现实世界中某个量的最大值或最小值（例如盒子的体积、材料的成本）。你首先需要推导出待优化量关于单个变量的函数，再使用驻点技巧求出所需值。

📘 定义

优化

在给定场景约束下求函数最大值或最小值的过程，是P2微分类题目中分值占比最高的题型之一。

例:

求用固定尺寸的硬纸板制作的无盖盒子的最大体积。

📐 例题

用一块20cm×20cm的正方形硬纸板，在每个角剪去边长为 $x$ cm的正方形后折起四边，制作一个无盖长方体盒子。求盒子的最大可能体积，以及对应的 $x$ 值。

1
推导体积函数：剪去边长为 $x$ 的正方形后，底面尺寸为 $(20 - 2 x)$ cm，高为 $x$ cm。体积 $V$ 为：
$V(x) = x(20 - 2x)^2 = 4x^3 - 80x^2 + 400x$
2
定义有效定义域： $x > 0$ 且 $20 - 2 x > 0$ ，因此 $0 < x < 10$ 。
3
对 $V (x)$ 求导并令其等于零，求出驻点：
$V'(x) = 12x^2 - 160x + 400 = 0 \\ 3x^2 - 40x + 100 = 0 \\ (3x - 10)(x - 10) = 0 \\ x = \frac{10}{3} \text{ or } x=10$
4
舍去 $x = 10$ （超出有效定义域）。用二阶导数对剩余点分类：
$V''(x) = 24x - 160 \\ V''(10/3) = 80 - 160 = -80 < 0 \\ \text{So this is a maximum point}.$
5
计算最大体积： $V (10/3) = 16000/27 \approx 592.6$ 立方厘米。结论：当 $x = 10/3$ cm时，最大体积为16000/27 立方厘米。

Exam tip:

务必根据场景说明变量的定义域，并且明确对驻点进行分类，确认你求出的是最大值/最小值，而不是任意一个驻点。

5. 常见陷阱

错误做法:

证明函数递增/递减时没有说明 $f^{'} (x)$ 的符号

原因:

考官要求你明确证明导数在区间内没有符号变化，而不是仅陈述它的符号。

正确做法:

说明导数的所有项都是非负/非正、没有符号变化，以此证明你的结论。

错误做法:

假设 $f^{''} (c) = 0$ 就意味着驻点是拐点

原因:

当 $f^{''} (c) = 0$ 时二阶导数测试无法得出结论，该点仍可能是极大值或极小值。

正确做法:

使用一阶导数测试检查 $x = c$ 紧邻两侧的 $f^{'} (x)$ 的符号变化，以此对该点分类。

错误做法:

优化问题中没有舍去无效的驻点

原因:

场景约束（例如长度不能为负）可能会让 $f^{'} (x) = 0$ 的部分解不成立。

正确做法:

首先定义变量的有效定义域，在分类之前排除所有超出该定义域的驻点。

错误做法:

场景类问题中忘记计算实际的优化后量（例如体积）

原因:

题目要求的是最大值/最小值，而不仅仅是驻点的x坐标。

正确做法:

将驻点的x值代回原函数，最终答案带上单位。

错误做法:

绘制曲线时跳过驻点分类

原因:

即使你求出了正确的x值，如果把极大值画成极小值或者反过来，你也会被扣分。

正确做法:

在绘制曲线之前，使用一阶或二阶导数测试对每个驻点进行分类。

6. 速查表

任务	方法	关键检查
识别增/减函数	计算 $f^{'} (x)$ ，检查区间内的符号	$f^{'} (x) \geq 0$ 为增函数； $f^{'} (x) \leq 0$ 为减函数
求驻点	解方程 $f^{'} (x) = 0$ 求 $x$	检查解是否符合给定场景
（快速）分类驻点	使用二阶导数测试： $f^{''} (c) < 0$ 为极大值； $f^{''} (c) > 0$ 为极小值	若 $f^{''} (c) = 0$ ，使用一阶导数符号变化测试
绘制多项式曲线	求截距、驻点、终态行为	在草图上清晰标注所有关键点
求解优化问题	推导单变量函数，求驻点并分类	最终答案带上单位和场景说明

7. 常见问题

我可以用一阶导数测试代替二阶导数测试来分类驻点吗？

可以，Edexcel IAL P2考试中两种方法都被认可。对于多项式，二阶导数测试更快，但如果 $f^{''} (c) = 0$ ，你必须使用一阶导数测试检查 $f^{'} (x)$ 在 $x = c$ 附近的符号变化。

优化问题我需要写出所有步骤吗？

是的，你必须写出待优化函数的推导过程、求导步骤、驻点分类，以及带单位的结论性陈述，才能拿到全部分数。

深入阅读

formula_bookEdexcel IAL 数学公式手册本专题没有对应的特定公式条目，使用基础微分法则
prerequisite_guideP1 基础微分

下一步

掌握P2微分应用后，你可以继续学习纯数学3中的高级微分技巧，包括链式法则、乘积法则、商法则，以及三角函数、指数函数和对数函数的微分。你也应该用P2的往年真题练习这些技能，熟悉考试的表述方式和评分标准，因为优化和曲线绘图题的分值一直很高。在学习P3内容之前，请确保你完全掌握P1的基础微分，因为所有高级微分技巧都建立在这个基础技能之上。这些应用也经常和P1的坐标几何结合出高分值考题，因此复习该专题能帮助你高效解决更复杂的题目。