质点沿直线运动的运动学

Q: 速度-时间图像下的面积和速率-时间图像下的面积有什么区别？

速度-时间图像下的面积给出位移（x轴下方的面积对于反向运动计为负值）。速率-时间图像下的面积给出总路程，因为所有面积无论方向都取正值。

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 Issue 3 M1 §3.1· 25 分钟阅读

1. Suvat符号体系与公式★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

匀加速运动

质点沿直线运动，加速度在整个时间间隔内的大小和方向都保持固定，可通过5个suvat公式描述。

例:

一辆汽车从静止开始在10秒内匀加速到20 m s⁻¹

每个suvat公式都省略了5个变量中的一个，因此如果你已知3个其他变量的值，就可以求解未知量。完整的公式集如下：

v = u + at \quad \text{(omits } s\text{)}

s = ut + \frac{1}{2} a t^2 \quad \text{(omits } v\text{)}

s = vt - \frac{1}{2} a t^2 \quad \text{(omits } u\text{)}

v^2 = u^2 + 2 a s \quad \text{(omits } t\text{)}

s = \frac{1}{2}(u + v) t \quad \text{(omits } a\text{)}

📐 例题

一名骑行者从静止开始匀加速，在40米的距离内速度达到12 m s⁻¹。计算骑行者的加速度大小，保留2位有效数字。

1
列出已知值： $u = 0$ m s⁻¹, $v = 12$ m s⁻¹, $s = 40$ m。目标未知量是 $a$ ，未使用的变量是 $t$ ，因此使用 $v^{2} = u^{2} + 2 a s$ 。
2
$12^2 = 0^2 + 2 \times a \times 40$
3
$144 = 80a$
4
$a = \frac{144}{80} = 1.8 \text{ m s}^{-2} \text{ (2 s.f.)}$

Exam tip:

对于竖直运动，明确说明你选定的正方向（通常取向上为正），避免g的符号错误。

2. 位移-时间图像与加速度-时间图像★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

位移-时间图像

以时间为横轴、相对于固定原点的位移为纵轴的图像，任意直线段的斜率等于该时间间隔内质点的恒定速度。

对于匀加速运动，位移-时间图像由直线段组成：水平线表示质点静止，正斜率表示沿正方向运动，负斜率表示沿反方向运动。

📐 例题

一辆汽车以恒定15 m s⁻¹的速度行驶6秒，随后保持静止4秒。计算10秒后汽车的总位移。

1
第一段（0到6秒）：斜率=15 m s⁻¹，因此位移 = $15 \times 6 = 90$ m。
2
第二段（6到10秒）：斜率=0，因此位移不变，保持在90 m。
3
10秒后的总位移 = 90 m。

匀加速运动的加速度-时间图像是水平直线：值为0的直线表示速度恒定，正水平线表示恒定正加速度，负水平线表示恒定减速。一段时间间隔内直线下方的面积等于该间隔内的速度变化量。

Exam tip:

如果质点经过原点向反方向运动，位移可以为负，因此图像可以延伸到x轴下方。

3. 速度-时间图像与速率-时间图像★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

速度-时间图像

以时间为横轴、速度为纵轴的图像，直线段的斜率等于恒定加速度，直线下方的带符号总面积等于总位移。

📐 例题

一台电梯从静止开始以1 m s⁻²匀加速3秒，随后以恒定速度运动5秒，再匀减速2秒后静止。使用速度-时间图像计算电梯的总位移。

1
计算最大速度： $v = u + a t = 0 + 1 \times 3 = 3$ m s⁻¹。
2
速度-时间图像下的总面积 = 第一个三角形面积 + 矩形面积 + 最后一个三角形面积：
3
$\text{Area} = (\frac{1}{2} \times 3 \times 3) + (3 \times 5) + (\frac{1}{2} \times 2 \times 3) = 4.5 + 15 + 3 = 22.5 \text{ m}$

Exam tip:

要从速度-时间图像得到总路程，先取x轴下方所有面积的绝对值，再将所有面积相加。

4. Suvat公式与图像结合的问题求解★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📐 例题

一个小球从地面竖直向上抛出，初速度为14.7 m s⁻¹。忽略空气阻力，取g = 9.8 m s⁻²。求小球到达的最大高度，以及落地前的总空中运动时间。

1
定义向上为正方向，因此 $a = - 9.8$ m s⁻²。在最大高度处， $v = 0$ 。目标未知量： $s$ ，未使用变量： $t$ ，因此使用 $v^{2} = u^{2} + 2 a s$ 。
2
$0 = 14.7^2 + 2(-9.8)s$
3
$s = \frac{216.09}{19.6} = 11.025 \approx 11 \text{ m (2 s.f.)}$
4
求总空中时间，使用 $s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ，其中 $s = 0$ （小球返回地面）：
5
$0 = 14.7t - 4.9 t^2$
6
$t(14.7 - 4.9t) = 0 \implies t = 0 \text{ (初始时刻)} \text{ 或 } t = 3 \text{ s}$

Exam tip:

使用图像方法交叉验证suvat代数计算的答案，反之亦然，在考试中及时发现符号或算术错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

对变加速运动使用suvat公式

原因:

Suvat仅适用于加速度恒定的情况；变加速运动需要使用微积分（M2模块内容）。

正确做法:

应用任何suvat公式前，先确认加速度是恒定的。

错误做法:

将速度-时间图像下的面积当作总路程

原因:

速度可以为负，因此x轴下方的面积会从位移中减去，而不是累加到路程中。

正确做法:

速度-时间图像的带符号面积用于计算位移，速率-时间图像的面积用于计算总路程。

错误做法:

当定义向上为正方向时，取g = +9.8 m s⁻²

原因:

重力方向向下，因此它的符号必须与你选定的正方向相反。

正确做法:

在竖直运动题目开头明确说明你的正方向，给g赋予正确的符号。

错误做法:

忽略位移、速度和加速度的矢量性质

原因:

反向运动时省略负号会导致计算结果无效。

正确做法:

所有矢量量都使用与你选定的正参考系一致的统一符号约定。

错误做法:

选择了包含未使用未知变量的suvat公式

原因:

这会产生不必要的联立方程，增加算术错误的风险。

正确做法:

先列出已知量和目标未知量，选择省略未使用变量的公式。

6. 速查表

公式/图像	适用场景	核心解读
$v = u + a t$	未知 $s$ 时求 $v / u / a / t$	省略位移
$s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$	未知 $v$ 时求 $s / u / a / t$	省略末速度
$v^{2} = u^{2} + 2 a s$	未知 $t$ 时求 $v / u / a / s$	省略时间
$s = \frac{1}{2} (u + v) t$	未知 $a$ 时求 $s / u / v / t$	省略加速度
位移-时间图像	求某一时间间隔内的速度	斜率 = 速度
速度-时间图像	求加速度和位移	斜率 = 加速度；带符号面积 = 位移
速率-时间图像	求总运动路程	总面积 = 总路程
加速度-时间图像	求速度变化量	图像下方面积 = $Δ v$

7. 常见问题

考试中我需要熟记suvat公式吗？

是的，Edexcel IAL M1的公式手册中不包含5个suvat公式，因此你必须全部牢记。所有竖直运动题目都要求你使用g = 9.8 m s⁻²进行计算。

速度-时间图像下的面积和速率-时间图像下的面积有什么区别？

速度-时间图像下的面积给出位移（x轴下方的面积对于反向运动计为负值）。速率-时间图像下的面积给出总路程，因为所有面积无论方向都取正值。

深入阅读

formula sheetEdexcel IAL 数学公式手册Suvat公式不在手册中提供：请牢记全部5个公式

下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL M1的直线匀加速运动学，接下来可以学习力学1的下一个核心主题。运动学知识是后续单元更高级运动主题的基础，包括变加速运动（M2）和抛体运动（M2），同时你也可以立即将这些suvat公式和图像技能应用到即将学习的M1主题中，例如力和牛顿运动定律，你将从力的数值计算出加速度，再求解运动学问题。几乎每一份M1考试卷中都会出现运动学题目，通常是分值5-8分的第一道大题，因此练习本主题的历年真题是在考试初期轻松拿到高分的好方法。

→力学中的矢量（M1）