力学中的向量

Edexcel 国际 A-Level 数学· M1 §2.1, M1 §2.2· 25 分钟阅读

1. 二维向量基础：大小、方向与i,j记号★★☆☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

M1中的所有向量都是二维的，使用垂直单位向量 $i$ （水平向右）和 $j$ （垂直向上）表示。写作 $x i + y j$ 的向量具有x分量 $x$ 和y分量 $y$ 。

📘 定义

向量的大小与方向

向量 $v = x i + y j$ 的大小通过勾股定理计算。方向表示为相对于参考轴（通常为正水平轴）的角度。

|\boldsymbol{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}

📐 例题

计算向量 $v = 3 i + 4 j$ 的大小和方向。方向结果保留1位小数，以正水平轴为参考。

1
步骤1：使用勾股定理计算大小：
2
$|\boldsymbol{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
3
步骤2：使用反正切函数计算（y分量/x分量）得到方向：
4
$\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) = 53.1^\circ$
5
最终答案：大小 = 5，方向 = 正水平轴上方53.1°

2. 向量分解与合向量计算★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

分解向量指将向量拆分为垂直的i分量和j分量。要计算多个向量的合向量，分别将它们的i分量相加、j分量相加即可。

📘 定义

向量分解

大小为 $∣ v ∣$ 、与正水平轴夹角为 $θ$ 的向量，分量为 $∣ v ∣ cos θ$ （i方向）和 $∣ v ∣ sin θ$ （j方向）。

📐 例题

两个力作用在质点上： $F_{1} = 2 i + 5 j$ N 和 $F_{2} = 4 i - 1 j$ N。求合力 $R$ 及其大小，结果保留3位有效数字。

1
步骤1：将两个力的i分量相加：
2
$x = 2 + 4 = 6$
3
步骤2：将两个力的j分量相加：
4
$y = 5 + (-1) = 4$
5
步骤3：写出合向量：
6
$\boldsymbol{R} = 6\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} \text{ N}$
7
步骤4：计算大小：
8
$|\boldsymbol{R}| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 7.21 \text{ N (3 sf)}$

3. 位移、速度与加速度的向量表示★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

M1中的所有运动物理量都可以表示为向量。对于匀速运动，速度是位移随时间的变化率。对于匀加速运动，加速度是速度随时间的变化率。M1中的这些计算不涉及微积分。

📘 定义

常向量运动公式

对于匀速 $v$ ： $s = s_{0} + v t$ ，其中 $s$ 是末位移， $s_{0}$ 是初位移， $t$ 是时间。对于匀加速 $a$ ： $v = u + a t$ ，其中 $u$ 是初速度， $v$ 是末速度。

📐 例题

一个质点初速度为 $u = 2 i + 3 j$ m/s，以 $a = 1 i - 0.5 j$ m/s²的加速度运动4秒。求该质点的末速度。

1
步骤1：使用向量的匀加速运动公式：
2
$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{a}t$
3
步骤2：代入数值：
4
$\boldsymbol{v} = 2\boldsymbol{i} + 3\boldsymbol{j} + 4(1\boldsymbol{i} - 0.5\boldsymbol{j})$
5
步骤3：展开并化简分量：
6
$\boldsymbol{v} = 2\boldsymbol{i} + 3\boldsymbol{j} + 4\boldsymbol{i} - 2\boldsymbol{j} = 6\boldsymbol{i} + 1\boldsymbol{j} \text{ m/s}$

4. 考试题型向量问题求解★★★★☆⏱ 8 min

✓ 计算器

大多数考试向量题会结合向量分解、合向量计算和运动公式。每道题开始计算数值前，先快速画一张向量草图确认分量方向。

📐 例题

一名徒步者沿正水平轴上方30°方向行走10 km，随后沿正水平轴下方60°方向行走8 km。求该徒步者的总位移向量，结果保留3位有效数字。

1
步骤1：将第一段位移分解为分量：
2
$\boldsymbol{s_1} = 10\cos30^\circ \boldsymbol{i} + 10\sin30^\circ \boldsymbol{j} = 8.66\boldsymbol{i} + 5\boldsymbol{j} \text{ km}$
3
步骤2：将第二段位移分解为分量（注意向下角度的正弦值为负）：
4
$\boldsymbol{s_2} = 8\cos(-60^\circ) \boldsymbol{i} + 8\sin(-60^\circ) \boldsymbol{j} = 4\boldsymbol{i} - 6.93\boldsymbol{j} \text{ km}$
5
步骤3：将分量相加得到总位移：
6
$\boldsymbol{s_{total}} = (8.66 + 4)\boldsymbol{i} + (5 - 6.93)\boldsymbol{j} = 12.7\boldsymbol{i} - 1.93\boldsymbol{j} \text{ km (3 sf)}$

Exam tip:

Edexcel阅卷人会为你将每个向量正确分解为i和j分量的步骤各给1分，即使你的最终答案错误。务必清晰写出每一步分解过程，拿到过程分。

5. 常见陷阱

错误做法:

当题目要求给出向量方向时，忘记说明方向相对于参考轴

原因:

评分标准要求明确参考轴（例如正水平轴、正北）才能给满分

正确做法:

始终将方向写为例如"正水平轴上方53°"或"从正北顺时针转27°"的形式

错误做法:

使用微积分对向量求导/积分来计算速度/位移

原因:

向量微积分不属于M1的考试范围，所有题目都使用匀速/匀加速，因此只需要使用线性比例公式

正确做法:

使用 $v = Δ s /Δ t$ 计算匀速运动速度，使用 $v = u + a Δ t$ 计算匀加速运动速度

错误做法:

分解向量分量时混淆正弦和余弦

原因:

与角度相邻的分量使用余弦，对边分量使用正弦，交换会得到错误数值

正确做法:

标注向量与x轴的夹角，计算前确认邻边 = $∣ v ∣ cos θ$ ，对边 = $∣ v ∣ sin θ$

错误做法:

忘记指向左或下的分量的负号

原因:

$i$ 正方向向右， $j$ 正方向向上，因此指向相反方向的向量分量为负

正确做法:

每道题开始时就设定符号约定，检查分量符号是否与方向一致

错误做法:

直接将分量相加计算大小，而不使用勾股定理

原因:

向量分量互相垂直，算术和无法得到正确的合向量长度

正确做法:

大小始终按 $(i 分量)^{2} + (j 分量)^{2}$ 计算

6. 速查表

概念	公式 / 规则	适用单位
向量 $v = x i + y j$ 的大小	$∣ v ∣ = x^{2} + y^{2}$	N, m/s, m, m/s²
将大小为 $∣ v ∣$ 、与x轴夹角为 $θ$ 的向量分解	$v = ∣ v ∣ cos θ i + ∣ v ∣ sin θ j$
向量 $v_{1}, v_{2}$ 的合向量	$R = (x_{1} + x_{2}) i + (y_{1} + y_{2}) j$	与输入向量单位相同
匀速运动	$s = s_{0} + v t$	m, m/s
匀加速运动	$v = u + a t$	m/s, m/s²

7. 常见问题

我在M1的所有向量答案中都必须使用i,j记号吗？

除非题目另有说明，你可以使用大小-方向形式或i,j记号作答，但i,j几乎总是计算更快且出错风险更低。

我可以用方位角记号表示向量方向吗？

可以，只要你明确说明使用的是相对于正北的三位方位角，否则请说明方向是相对于正水平（x）轴的。

下一步

现在你已经掌握了M1的向量基础，可以将这些技能应用到Edexcel IAL考试的各类力学问题中。向量是力的平衡、抛体运动和连接质点问题的基础，这些内容构成了M1大纲的剩余部分。请务必练习将向量计算与牛顿运动定律结合，这是历年真题中常见的高分题型。记住所有M1向量问题都使用匀加速或匀速，因此你永远不需要在这些题目中使用微积分。解答考试题目时，计算前先快速画一张向量图确认分量方向，这会帮助你避免符号错误丢失分数。