二次方程的根

Q: 考试的公式手册里会提供根的和与积公式吗？

不会。公式 和 不会出现在Edexcel FP1的公式手册中，你必须在考前熟记。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP1 第2部分（2018版考纲第3次修订）· 25 分钟阅读

1. 根的和与积公式★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

对于任意形如 $a x^{2} + b x + c = 0$ 、根为 $α$ 和 $β$ 的二次方程，存在两个简单关系将二次方程的系数与其根的和与积关联起来。这些公式不会在考试的公式手册中提供，你必须牢记。

📘 定义

二次方程根的和与积

$a x^{2} + b x + c = 0$ ，根为 $α, β$

根的和： $α + β = - \frac{b}{a}$ 。根的积： $α β = \frac{c}{a}$ 。

例:

对于 $2 x^{2} + 5 x + 2 = 0$ ， $α + β = - 5/2$ ， $α β = 2/2 = 1$ 。

📐 例题

二次方程 $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ 的根为 $α$ 和 $β$ ，计算其根的和与积。

1
识别系数：a = 3, b = -7, c = 2。
2
使用 $α + β = - b / a$ 计算根的和：
3
$\alpha + \beta = -\frac{-7}{3} = \frac{7}{3}$
4
使用 $α β = c / a$ 计算根的积：
5
$\alpha\beta = \frac{2}{3}$

2. 根的对称表达式化简★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

$α$ 和 $β$ 的对称表达式是指交换 $α$ 和 $β$ 后保持不变的表达式。你无需求出 $α$ 和 $β$ 的具体值，只需利用标准代数恒等式将其改写为 $S = α + β$ 和 $P = α β$ 的形式，即可完成求值。

📘 定义

二次方程根的核心对称恒等式

你需要能够按需推导以下恒等式：1. $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ 2. $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β}$ 3. $α^{3} + β^{3} = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$ （该恒等式为明确要求掌握的知识点）。

📐 例题

已知二次方程 $2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 的根为 $α$ 和 $β$ ，求 $α^{3} + β^{3}$ 的精确值。

1
首先从给定二次方程计算 $S = α + β$ 和 $P = α β$ ：
2
$S = -\frac{-4}{2} = 2$
3
$P = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$
4
应用立方和恒等式：
5
$\alpha^3 + \beta^3 = S^3 - 3PS$
6
代入S和P的值：
7
$= (2)^3 - 3(-\frac{1}{2})(2) = 8 + 3 = 11$

3. 构造具有变换根的二次方程★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

要构造根为原根 $α$ 和 $β$ 的变换形式的新二次方程，你只需要计算两个值：新根的和（S'）与新根的积（P'）。新二次方程即为 $x^{2} - S^{'} x + P^{'} = 0$ ，如果要求整数系数，可将方程整体缩放得到。

📐 例题

二次方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的根为 $α$ 和 $β$ ，求一个整系数二次方程，使其根为 $\frac{1}{α ^{2}}$ 和 $\frac{1}{β ^{2}}$ 。

1
首先求原二次方程的S和P：
2
$S = \alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$
3
$P = \alpha\beta = \frac{-2}{1} = -2$
4
计算S' = 新根的和 = $\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}}$ ：
5
$S' = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{S^2 - 2P}{P^2}$
6
代入数值：
7
$= \frac{(-3)^2 - 2(-2)}{(-2)^2} = \frac{9 + 4}{4} = \frac{13}{4}$
8
计算P' = 新根的积 = $\frac{1}{α ^{2}} \times \frac{1}{β ^{2}}$ ：
9
$P' = \frac{1}{(\alpha\beta)^2} = \frac{1}{P^2} = \frac{1}{4}$
10
写出二次方程： $x^{2} - S^{'} x + P^{'} = 0$ ：
11
$x^2 - \frac{13}{4}x + \frac{1}{4} = 0$
12
所有项乘以4得到整数系数：
13
$4x^2 - 13x + 1 = 0$

4. 考试风格自测★★★★☆⏱ 5 min

✓ 计算器

本主题的考试题通常分小问设置：首先要求计算根的和与积，然后求对称表达式的值，最后构造变换后的新二次方程。所有题目都要求写出精确的符号运算过程，因此你需要展示代入S和P的每一步。

✓ 快速检测

若 $α + β = 5$ 且 $α β = 2$ ，则 $α^{2} + β^{2}$ 的值是多少？
- 21
- 25
- 29
- 17
显示答案
21 —
正确： $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 25 - 4 = 21$ 。
某个二次方程的新根和为6，积为8，正确的整系数二次方程是哪一个？
- $x^{2} + 6 x + 8 = 0$
- $x^{2} - 6 x + 8 = 0$
- $x^{2} + 6 x - 8 = 0$
- $x^{2} - 6 x - 8 = 0$
显示答案
$x^2 - 6x + 8 = 0$ —
正确：使用标准形式 $x^{2} - S x + P = 0$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

在 $α + β = - b / a$ 中遗漏负号，例如对于 $x^{2} + 5 x + 3 = 0$ ，错误写出 $α + β = 5$ 。

原因:

根的和公式明确使用x项系数的相反数，忽略该符号会导致后续所有计算全部错误。

正确做法:

代入数值前先写出完整公式，对照原二次方程反复核对b的符号。

错误做法:

使用二次方程求根公式计算 $α$ 和 $β$ 的具体值来求对称表达式的值。

原因:

这种做法会引入不必要的计算错误，浪费时间，而且如果根的计算出错，不会获得方法分。

正确做法:

所有对称表达式都只改写为S = α+β和P = αβ的形式，再直接代入从二次方程系数得到的S和P值。

错误做法:

将新二次方程写为 $x^{2} + S^{'} x + P^{'} = 0$ ，而不是正确的 $x^{2} - S^{'} x + P^{'} = 0$ 。

原因:

根为r1和r2的二次方程标准形式是 $(x - r 1) (x - r 2) = x^{2} - (r 1 + r 2) x + r 1 r 2$ ，因此和的项前面是负号。

正确做法:

明确熟记新二次方程的结构为 $x^{2} - (新根的和) x + (新根的积) = 0$ 。

错误做法:

当题目要求整系数二次方程时，最终结果保留分数系数。

原因:

如果题目明确要求整数形式，评分标准会扣掉结果分。

正确做法:

写出标准二次方程形式后，将所有项乘以分母的最小公倍数以消去分数。

错误做法:

在二次方程根的题目中使用三次或四次方程的韦达公式。

原因:

Edexcel IAL FP1将本主题严格限定在二次方程，更高次的公式在这里既不需要也不适用。

正确做法:

只使用二次方程的根的和与积两个公式，需要时从基础二项式展开规则推导对称恒等式。

6. 速查表

概念	公式 / 规则
二次方程根的和	$α + β = - \frac{b}{a}$ ，适用于 $a x^{2} + b x + c = 0$
二次方程根的积	$α β = \frac{c}{a}$ ，适用于 $a x^{2} + b x + c = 0$
平方和恒等式	$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$
倒数和恒等式	$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β}$
立方和恒等式	$α^{3} + β^{3} = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$
新二次方程公式	$x^{2} - S^{'} x + P^{'} = 0$ ，其中S'为新根的和，P'为新根的积

7. 常见问题

考试的公式手册里会提供根的和与积公式吗？

不会。公式 $α + β = - b / a$ 和 $α β = c / a$ 不会出现在Edexcel FP1的公式手册中，你必须在考前熟记。

本主题可以使用三次方程的根公式吗？

不可以。Edexcel IAL FP1将本主题的范围严格限定在二次方程，本单元不会要求你对三次或更高次多项式应用根的和与积规则。

深入阅读

syllabusEdexcel IAL 进阶数学 FP1 考纲关于二次方程根的要求请参考第2部分

下一步

掌握Edexcel IAL FP1二次方程根的相关内容后，你可以在此基础上学习FP1的其他核心主题。接下来你可以学习复数，你将使用共轭根对分解没有实根的二次方程，并将对称表达式化简技巧应用到复根相关问题中。你也可以进入坐标系主题，其中二次方程根被用于求直线与圆锥曲线的交点。请务必练习本主题的历年真题，熟悉考试表述和常见评分标准要求，因为本主题几乎在每一套FP1试卷中都会出现。记住在化简对称表达式时要写出完整过程，代入S和P的每一步都能获得方法分。

→复数（FP1）