方程的数值解
Edexcel 国际A-Level 进阶数学· 2018年FP1考试大纲第3版，第3.1节· 25 分钟阅读
1. 通过符号变化检验定位根★☆☆☆☆⏱ 10 min
要求解f(x)=0的数值解，首先使用符号变化检验确认区间内存在根。对于连续函数，f(a)和f(b)符号相反即可证明开区间(a, b)内至少存在一个根。
符号变化检验
对于连续函数f(x)，若f(a) < 0且f(b) > 0（反之亦然），则f(x)=0在(a, b)内至少存在一个根。
例:
f(x) = x³ - 3x +1，f(1) = -1，f(2) = 3，因此根位于(1,2)内
证明f(x) = x³ - 3x + 1在区间(1, 2)内存在一个根。
- 1
计算f(1):
- 2
计算f(2):
- 3
f(1)为负，f(2)为正，且f(x)是多项式（在全体实数上连续），因此(1, 2)内存在一个根。
Exam tip:
使用符号变化检验时务必明确说明f(x)是连续函数，以获得全部分数。
2. 区间二分法★★☆☆☆⏱ 15 min
区间二分法通过反复将已知根区间在中点处拆分，保留存在符号变化的子区间来缩小根的范围。考试不会提供该方法的公式，你必须熟记整个流程。
区间二分法
缩小根区间(a, b)的迭代方法：计算中点c = (a+b)/2，检验f(c)。若f(a)和f(c)符号相反，则保留(a, c)；否则保留(c, b)。重复操作直到区间满足所需精度。
已知f(x) = x³ - 3x + 1的根位于区间(1, 2)内，使用两次区间二分法求出包含该根的更小区间。
- 1
第一次迭代：计算(1,2)的中点：
- 2
计算f(1.5):
- 3
f(1.5)为负，f(2)为正，因此保留区间(1.5, 2)。
- 4
第二次迭代：计算(1.5,2)的中点：
- 5
计算f(1.75):
- 6
f(1.5)为负，f(1.75)为正，因此缩小后的区间为(1.5, 1.75)。
Exam tip:
即使中间f(x)值计算简单，也要全部明确写出，这样即使出现算术错误也能拿到方法分。
3. 线性插值法★★★☆☆⏱ 15 min
线性插值（试位法）比二分法更快：它将已知根区间端点(a, f(a))和(b, f(b))连线的直线的x轴截距作为根的估计值。考试不会提供该方法的公式。
求根用线性插值法
对于f(a)和f(b)符号相反的区间(a,b)，连接(a, f(a))和(b, f(b))的直线的x轴截距c就是下一个根估计值，可通过相似三角形推导：\frac{c - a}{b - c} = \frac{|f(a)|}{|f(b)|}。
对f(x) = x³ - 3x + 1的根所在区间(1, 2)使用线性插值，求出根的估计值。
- 1
已知f(1) = -1，f(2) = 3。使用相似三角形关联距离：
- 2
整理求解c：
- 3
检验f(1.25): f(1.25) ≈ -0.797，因此缩小后的区间为(1.25, 2)。
Exam tip:
使用相似三角形推导根的估计值，而不是死记公式，避免符号错误。
4. 牛顿-拉夫逊法流程★★★★☆⏱ 20 min
✓ 计算器
牛顿-拉夫逊法是三种方法中速度最快的，它利用f(x)的导数迭代优化根的估计值。该公式印在考试提供的公式手册中，计算f'(x)仅需要用到P1/P2的求导法则。
牛顿-拉夫逊迭代
将根估计值x_n优化为x_{n+1}的迭代公式：x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}，其中f'(x_n)是f(x)在x_n处的一阶导数。
已知f(x) = x³ - 3x + 1的初始估计值x_0 = 1.5，使用两次牛顿-拉夫逊法求出根的估计值，并证明其精度为3位小数。
- 1
首先计算f(x)的导数：
- 2
第一次迭代（x_0 = 1.5）：
- 3
- 4
第二次迭代（x_1 = 1.5333）：
- 5
- 6
证明精度为3位小数：f(1.5315) ≈ -0.0007，f(1.5325) ≈ 0.0034，符号变化证明根为1.532，精确到3位小数。
Exam tip:
在开始迭代前仔细核对导数计算，错误的导数会导致后续所有估计值全部无效。
5. 常见陷阱
错误做法:
使用符号变化检验时没有说明f(x)是连续函数
原因:
阅卷人要求明确确认连续性才能应用该检验，仅说明符号相反会被扣分。
正确做法:
每次使用符号变化检验时都补充一句类似“f(x)是多项式，因此在全体实数上连续”的说明。
错误做法:
提前将迭代过程中的中间估计值舍入到最终要求的精度
原因:
提前舍入会引入误差，误差会在后续迭代中累积，导致最终结果错误。
正确做法:
所有中间估计值至少保留4位小数，仅对最终答案舍入到要求的精度。
错误做法:
尝试背诵二分法和线性插值的现成公式
原因:
很多学生记错公式导致失分，考试也不会提供这两种方法的公式。
正确做法:
练习通过相似三角形推导线性插值结果，从基本原理计算二分法中点。
错误做法:
在牛顿-拉夫逊法中使用FP3求导法则（例如双曲函数、反三角函数求导）
原因:
Edexcel限定f(x)为P1/P2范围内的函数，因此这些导数永远不会用到，使用它们完全没有必要。
正确做法:
仅使用P1/P2求导法则（幂函数、乘积、商、链式法则处理基础三角函数、指数函数、对数函数）计算f'(x)。
错误做法:
没有使用符号变化检验证明最终答案的精度
原因:
阅卷人要求证明根落在舍入区间内，仅给出匹配的迭代估计值是不够的。
正确做法:
在给出最终答案前，检验舍入区间的上下界（例如n位小数精度对应x ± 0.5×10^(-n)），确认存在符号变化。
6. 速查表
方法 | 流程/公式 | 速度 | 要求的运算过程 |
|---|---|---|---|
符号变化检验 | 检验f(a)·f(b) < 0，确认f(x)连续 | 无 | f(a)、f(b)的值，连续性说明 |
区间二分法 | 中点c = (a+b)/2，保留存在符号变化的区间 | 慢 | 所有中点值、f(c)值、每次迭代后的区间 |
线性插值法 | 通过相似三角形推导x轴截距 | 中等 | 相似三角形推导过程、c值、f(c)值、新区间 |
牛顿-拉夫逊法 | x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)（公式手册提供） | 快 | 导数f'(x)、所有迭代值、用于精度证明的符号变化检验 |
7. 常见问题
我需要熟记牛顿-拉夫逊公式吗？
不需要，该公式印在考试提供的官方FP1公式手册中。你只需要熟记区间二分法和线性插值的流程，这两种方法没有提供公式。
如何证明我的答案精确到3位小数？
检验舍入区间的上下界：对于答案1.532，计算f(1.5315)和f(1.5325)。符号变化证明根落在该区间内，因此四舍五入后得到1.532，精确到3位小数。
本主题可以使用CAS计算器吗？
不可以，所有Edexcel IAL进阶数学试卷都严格禁止使用CAS计算器，仅允许使用标准科学计算器。
深入阅读
下一步
现在你已经掌握了Edexcel IAL FP1要求的三种数值求根方法，可以开始练习结合这些方法和符号变化精度证明的完整考试题型。这类题目通常在75分的FP1试卷中占8-12分，因此定期限时练习非常重要，可以避免算术错误，确保你写出所有要求的运算过程拿到全分。接下来你可以学习FP1其他高分值主题，包括矩阵和复数，练习历年真题的主题类题目，熟悉Edexcel的评分标准。记住所有练习和正式考试都只能使用允许的非CAS科学计算器。