单元总览

纯数学 3

CIE A-Level 数学· 5 分钟阅读 📊 占整个A-Level资格考试总分的30%

1. 单元概览

本单元逐步建立在纯数学1的概念之上，首先拓展了本单元后续所有主题都会用到的代数技能。你将从核心函数和一元微积分开始，学习到复数这类更抽象的主题，最后学习微分方程和三维向量这类侧重应用的主题。本单元几乎所有主题都是试卷3的重点考查内容，同时也为进阶数学学习打下基础。

以下是本单元涵盖的所有子主题：

代数

涵盖部分分式、负指数与分数指数的二项式展开，以及高等代数变形。

★★⏱ 15 min

对数与指数函数

涵盖 $e^{x}$ 和 $ln x$ 的性质、图像与应用，包括求解指数增长/衰减问题。

★★⏱ 12 min

三角学

涵盖反三角函数、正割/余割/余切、三角恒等式，以及求解高等三角方程。

★★★⏱ 18 min

求导

涵盖超越函数的求导、隐函数求导与参数方程求导，以及变化率。

★★★⏱ 20 min

积分

涵盖超越函数的积分、换元积分法/分部积分法，以及旋转体体积。

★★★★⏱ 25 min

数值方法

涵盖确定非线性方程根的位置和迭代法求近似根。

★★⏱ 10 min

向量

涵盖三维向量、空间直线方程，以及计算直线交点和夹角。

★★★⏱ 15 min

微分方程

涵盖针对实际问题建立并求解一阶可分离变量微分方程。

★★★⏱ 18 min

复数

涵盖复数运算、模-辐角形式、阿尔冈图，以及求解带复根的多项式方程。

★★★★⏱ 20 min

2. 常见陷阱

错误做法:

当 $n$ 不是正整数时，忘记写出 $(1 + x)^{n}$ 的广义二项式展开的有效范围。

原因:

即使展开结果正确，这也是常见的扣分点，很容易被遗漏。

正确做法:

写出展开式后一定要加上有效条件 $∣ x ∣ < 1$ 。

错误做法:

求解不定积分或微分方程时忘记积分常数。

原因:

即使积分计算本身完全正确，也会丢失全部分数。

正确做法:

所有不定积分都要加上 $+ c$ ，在微分方程中利用初始条件求解 $c$ 。

错误做法:

错误识别三维直线的方向向量，或是混淆位置向量和方向向量的分量。

原因:

会导致角度和交点计算错误，无法获得满分。

正确做法:

开始计算前，先确认你的直线方程符合题目描述。

3. 速查表

概念/公式	核心要点
广义二项式展开	$(1 + x)^{n} = 1 + n x + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} x^{2} + ...$ , valid for $∣ x ∣ < 1$
$e^{k x}$ 的导数	$\frac{d}{d x} (e^{k x}) = k e^{k x}$
$ln x$ 的导数	$\frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x}$
分部积分法	$\int u \frac{d v}{d x} d x = uv - \int v \frac{d u}{d x} d x$
复数 $z = x + i y$ 的模	$∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$
三维向量的点积	$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$
一阶可分离变量微分方程	Rearrange to $\int f (y) d y = \int g (x) d x$ then integrate both sides

下一步

从第一个子主题代数开始学习本单元，你将在这里学习部分分式和广义二项式展开，这些内容会在本单元所有其他主题中反复用到。完成纯数学3的所有子主题后，CIE A-Level数学的下一个核心单元是概率与统计1。