代数

CIE A-Level 数学· 纯 3：1 代数· 5 分钟阅读

1. 真有理函数与假有理函数★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

有理函数

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

两个多项式 $P (x)$ （分子）和非零多项式 $Q (x)$ （分母）的比值，根据两个多项式的次数分类。

例:

$\frac{3 x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 4}$ 是假分式； $\frac{2 x + 5}{x ^{2} - 4}$ 是真分式

任何假有理函数都必须先化简为一个多项式加上一个真有理函数，才能进行部分分式分解或展开。可以通过多项式长除法或待定系数法完成化简。

📐 例题

将 $\frac{3 x ^{2} + 2 x - 2}{x ^{2} + x - 2}$ 化简为一个多项式加上一个真有理函数。

1
比较首项： $\frac{3 x ^{2}}{x ^{2}} = 3$ 。将分母乘以3：
2
$3(x^2 + x - 2) = 3x^2 + 3x - 6$
3
将该乘积从原分子中减去：
4
$(3x^2 + 2x - 2) - (3x^2 + 3x - 6) = -x + 4$
5
重写原函数：
6
$\frac{3x^2 + 2x - 2}{x^2 + x - 2} = 3 + \frac{-x + 4}{x^2 + x - 2}$

2. 部分分式分解★★★☆☆⏱ 20 min

部分分式分解将真有理函数拆分为多个简单分式之和，是积分和级数展开的必要步骤。分解的形式完全由分母的因式类型决定：

不同一次因式 $(a x + b)$ ：项为 $\frac{A}{a x + b}$
重一次因式 $(a x + b)^{2}$ ：项为 $\frac{A}{a x + b} + \frac{B}{( a x + b ) ^{2}}$
不可约二次因式 $(a x^{2} + b x + c)$ ：项为 $\frac{A x + B}{a x ^{2} + b x + c}$

📐 例题

将 $\frac{- x + 4}{x ^{2} + x - 2}$ 分解为部分分式。

1
对分母因式分解：
2
$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$
3
设两个不同一次因式的部分分式形式：
4
$\frac{-x + 4}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 1}$
5
两边同乘 $(x + 2) (x - 1)$ 消去分母：
6
$-x + 4 = A(x - 1) + B(x + 2)$
7
代入分母的根求常数： $x = 1$ 得 $3 = 3 B ⟹ B = 1$ ； $x = - 2$ 得 $6 = - 3 A ⟹ A = - 2$
8
写出最终分解结果：
9
$\frac{-2}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}$

Exam tip:

始终通过将部分分式合并回单个分式，验证结果是否与原函数一致。

3. 负次幂和分数次幂的二项式展开★★★★☆⏱ 20 min

📘 定义

广义二项式展开

(1 + y)^n

对于任意实数 $n$ 且 $∣ y ∣ < 1$ ，无穷二项式展开为： $1 + n y + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} y^{2} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{3 !} y^{3} + ...$

例:

和正整数次幂的有限展开不同，该展开对所有非正整数 $n$ 有效

要展开 $(a + b x)^{n}$ （ $a > 0$ ）形式的表达式，先提出 $a^{n}$ 得到标准 $(1 + y)^{n}$ 形式，再应用广义展开。始终要写出展开的有效范围。

📐 例题

求 $\frac{1}{1 + 2 x}$ 展开的前三个非零项，并写出其有效范围。

1
将函数重写为标准形式： $(1 + 2 x)^{- 1}$ ，因此 $n = - 1$ ， $y = 2 x$
2
代入广义展开，保留到 $x^{2}$ 项：
3
$(1 + y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + ...$
4
$(1 + 2x)^{-1} = 1 + (-1)(2x) + \frac{(-1)(-2)}{2}(2x)^2 + ... = 1 - 2x + 4x^2 - ...$
5
根据 $∣ y ∣ < 1$ 计算有效范围：
6
$|2x| < 1 \implies |x| < \frac{1}{2}$

4. 常见陷阱

错误做法:

对假有理函数做部分分式前跳过多项式除法

原因:

部分分式法则仅适用于真分式，会导致分解结果错误

正确做法:

首先比较分子和分母的次数；若 $de g (P) \geq de g (Q)$ 则先做除法

错误做法:

对重一次因式只包含最高次项

原因:

遗漏低次项会改变整体表达式，导致常数求解错误

正确做法:

对于 $(a x + b)^{k}$ ，需要包含从 $\frac{A _{1}}{a x + b}$ 到 $\frac{A _{k}}{( a x + b ) ^{k}}$ 的所有项

错误做法:

展开 $(a + b x)^{n}$ 时忘记提出首项常数

原因:

标准展开仅对 $(1 + y)^{n}$ 形式有效，因此所有系数都会出错

正确做法:

展开前先提出 $a^{n}$ ，得到 $a^{n} (1 + \frac{b x}{a})^{n}$

错误做法:

遗漏或错误书写二项式展开的有效范围

原因:

阅卷人通常会为正确的有效范围给出至少一分，这对所有非正整数 $n$ 都是必须的

正确做法:

始终将 $∣ y ∣ < 1$ 整理为关于 $x$ 的条件并清晰写出

5. 速查表

概念	法则
真有理函数	$de g (P) < de g (Q)$
假有理函数	$de g (P) \geq de g (Q)$ ; 先做除法
不同一次因式 $(a x + b)$	项: $\frac{A}{a x + b}$
重一次因式 $(a x + b)^{2}$	项: $\frac{A}{a x + b} + \frac{B}{( a x + b ) ^{2}}$
不可约二次因式 $(a x^{2} + b x + c)$	项: $\frac{A x + B}{a x ^{2} + b x + c}$
二项式展开 $(1 + y)^{n}$	$1 + n y + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} y^{2} + ...$
展开有效性	$∣ y ∣ < 1$ for all $n \neq = +$ ve integer

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
部分分式分解
2023 · 2
有理函数的二项式展开
2021 · 1
假有理函数化简

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本模块为CIE A-Level纯数学3的多个核心主题奠定了基础。部分分式分解是有理函数积分、求解可分离或线性形式微分方程的必要预处理步骤。负次幂和分数次幂有理函数的二项式展开用于函数近似、求级数展开和处理无穷数列。掌握这些代数变形技巧是在多考点综合大题中获得满分的关键，这类大题在P3考试中很常见。在这些技能的基础上，你可以更自信地应对更高级的概念。