离散随机变量 (Discrete Random Variables) — A-Level Mathematics Stats 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 5 (Probability & Statistics 1) 的考生。

覆盖内容：概率分布表、期望与方差计算、随机变量线性变换规则、二项分布适用条件与公式、几何分布核心定义五大子主题。

前置知识：基本概率、求和、积分（Pure 1 微积分）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是离散随机变量？

离散随机变量（discrete random variable）是只能取有限个、或可数无穷个孤立数值的随机变量，通常用大写字母$X,Y,Z$表示，它的每个取值对应随机试验的一个结果，每个结果都有对应的发生概率。

和连续随机变量不同，离散随机变量的取值是可以一一列举的，比如"抛3次硬币的正面次数"、"第一次投篮命中需要的尝试次数"都是典型的离散随机变量。本知识点是A-Level Mathematics Paper5的核心基础，占卷面分值约8-12分，是后续所有分布类考点的前置内容。

2. 概率分布表（Probability Distribution Table）

概率分布表是将离散随机变量$X$的所有可能取值$x$，与对应概率$P(X=x)$一一对应列出的表格，是描述离散随机变量规律最基础的形式。

它必须满足两个核心性质：

1. 所有概率都在0到1之间：$0\le P(X=x)\le 1$
2. 所有取值的概率之和为1：$$\sum _{所有x}P(X=x)=1$$

范例：抛2次均匀硬币，$X$为正面朝上的次数，它的概率分布表如下：

3. 期望$E(X)$与方差$\text{Var}(X)$

期望（Expected Value）

期望是随机变量取值的加权平均值，权重为每个取值对应的概率，反映了随机变量长期重复试验下的平均结果，公式为： $$E(X)=\sum _{所有x}x\cdot P(X=x)$$

方差（Variance）

方差衡量随机变量取值的离散程度，方差越大说明取值波动越大，公式为： $$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$ 其中$E(X^2)={\sum }_{所有x}{x}^2\cdot P(X=x)$，注意不要把$E(X^2)$和$[E(X){]}^2$混淆，这是最常见的丢分点之一。

计算范例：用上述抛硬币的分布表计算： $E(X)=0\times \frac{1}{4}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{4}=1$ $E(X^2)=0^2\times \frac{1}{4}+1^2\times \frac{1}{2}+2^2\times \frac{1}{4}=1.5$ $\text{Var}(X)=1.5-1^2=0.5$

4. 线性变换：$E(aX+b),\text{Var}(aX+b)$

线性变换指对随机变量$X$做$aX+b$的运算，其中$a,b$为常数，比如将"以厘米为单位的身高$X$转换为以米为单位$0.01X$"就是典型的线性变换。

两个核心公式可以直接使用：

1. 期望的线性变换：$$E(aX+b)=aE(X)+b$$ 原理是加权平均的线性运算可以拆分，常数$b$相当于给每个取值加固定偏移，平均结果也加$b$。
2. 方差的线性变换：$$\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$$ 原理是常数$b$只会平移所有取值，不会改变离散程度，因此对方差无贡献；缩放系数$a$会让每个取值的离散程度放大$a$倍，平方后才是方差的变化比例。

计算范例：上述抛硬币的$X$，求$E(2X+3)$和$\text{Var}(2X+3)$： $E(2X+3)=2\times 1+3=5$ $\text{Var}(2X+3)=2^2\times 0.5=2$

5. 二项分布（Binomial Distribution）：条件与公式

二项分布是最常用的离散分布之一，用于描述$n$次独立重复试验中成功的次数，需要满足三个核心条件：

1. 试验重复$n$次，每次之间相互独立
2. 每次试验只有两种结果：成功（success）或失败（failure）
3. 每次试验的成功概率$p$恒定

满足条件时，记$X\sim B(n,p)$，读作"$X$服从参数为$n,p$的二项分布"，核心公式如下：

• 概率公式：$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}(k=0,1,2,...,n)$$ 其中$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$是组合数，代表$n$次试验中选$k$次成功的排列方式
• 期望：$E(X)=np$
• 方差：$\text{Var}(X)=np(1-p)$

计算范例：做10道四选一的单选题，每题随机蒙答案，$X$为答对的题数： $X\sim B(10,0.25)$，$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)\times 0.25^2\times 0.75^8\approx 45\times 0.0625\times 0.1001\approx 0.2816$ $E(X)=10\times 0.25=2.5$，$\text{Var}(X)=10\times 0.25\times 0.75=1.875$

6. 几何分布（Geometric Distribution）

几何分布用于描述第一次获得成功所需要的试验次数，适用条件为：

1. 每次试验独立，只有成功/失败两种结果
2. 每次成功的概率$p$恒定

满足条件时记$X\sim Geo(p)$，A-Level考纲中定义的$X$是计数到第一次成功的总试验次数（不是成功前的失败次数，注意和其他教材定义区分），核心公式：

• 概率公式：$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,...)$$ 代表前$k-1$次都失败，第$k$次成功的概率
• 期望：$E(X)=\frac{1}{p}$
• 方差：$\text{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$

计算范例：每次投篮命中概率为0.4，求第三次投篮才首次命中的概率： $X\sim Geo(0.4)$，$P(X=3)=0.6^2\times 0.4=0.144$，$E(X)=\frac{1}{0.4}=2.5$次

7. 常见陷阱（Common Pitfalls）

1. 错误做法：计算方差时直接用$[E(X){]}^2$代替$E(X^2)$，得到$\text{Var}(X)=0$的错误结果。原因：混淆两个记号的定义，误以为平方可以提去期望外。正确做法：牢记方差公式的结构，$E(X^2)$需要先对$x$取平方再乘概率求和，不要跳步。
2. 错误做法：计算$\text{Var}(aX+b)$时写成$a\text{Var}(X)+b$。原因：照搬期望的线性变换规则，不理解方差的离散属性。正确做法：记住常数$b$对方差无贡献，系数要取平方，即$\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$。
3. 错误做法：不验证条件直接套用二项/几何分布。原因：看到概率题就急于套公式，忽略分布的适用前提。正确做法：解题第一步先判断试验是否独立、概率是否恒定、计数目标是否符合分布定义，再写分布记号。
4. 错误做法：几何分布计算$P(X=k)$时指数写成$k$而不是$k-1$。原因：记错A-Level考纲的几何分布定义。正确做法：A-Level的$Geo(p)$最小取值为1，前$k-1$次都是失败，因此指数为$k-1$，算完可以验证$k=1$时概率为$p$，符合逻辑。

8. 练习题（A-Level Mathematics Paper5 风格）

题1

离散随机变量$X$的概率分布如下：$P(X=1)=0.2$，$P(X=2)=k$，$P(X=3)=2k$，$P(X=4)=0.3$。求：(a) $k$的值；(b) $E(X)$；(c) $\text{Var}(3X-2)$

解答

(a) 由概率和为1：$0.2+k+2k+0.3=1⟹3k=0.5⟹k=\frac{1}{6}\approx 0.1667$ (b) $E(X)=1\times 0.2+2\times \frac{1}{6}+3\times \frac{2}{6}+4\times 0.3=\frac{41}{15}\approx 2.733$ (c) $E(X^2)=1^2\times 0.2+2^2\times \frac{1}{6}+3^2\times \frac{2}{6}+4^2\times 0.3=\frac{13}{1.5}\approx 8.667$ $\text{Var}(X)=8.667-(2.733{)}^2\approx 1.196$ $\text{Var}(3X-2)=3^2\times 1.196\approx 10.76$

题2

某同学参加驾照考试，每次通过的概率为0.6，每次考试独立。求：(a) 恰好考3次才通过的概率；(b) 最多考3次就通过的概率。

解答

$X$为第一次通过的考试次数，$X\sim Geo(0.6)$ (a) $P(X=3)=0.4^2\times 0.6=0.096$ (b) $P(X\le 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.6+0.4\times 0.6+0.096=0.936$

题3

工厂生产的零件次品率为0.05，随机抽取10个零件，求至少有1个次品的概率。

解答

$X$为抽取的次品数，$X\sim B(10,0.05)$ $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{0}\right)\times 0.05^0\times 0.95^{10}\approx 1-0.5987=0.4013$

9. 速查表（Quick Reference Cheatsheet）

10. 接下来怎么学

离散随机变量是Paper5的核心基础，后续你要学习的正态分布近似、连续随机变量、抽样估计等考点，都需要用到期望、方差的计算逻辑，以及分布适用条件的判断方法，把这部分知识点吃透可以大幅降低后续章节的学习难度。

如果你在刷A-Level Mathematics Paper5真题的过程中，遇到任何和离散随机变量相关的疑问，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和配套练习。

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