三角函数 (Pure 3) (Trigonometry (Pure 3)) — A-Level Mathematics Pure 3 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 3 (Pure Mathematics 3) 的考生。

覆盖内容：倒数三角函数（sec、csc、cot）及其恒等式、和角与倍角公式、$a\sin \theta +b\cos \theta$的$R\sin (\theta \pm \alpha )$转化、三角方程求解、三角恒等式证明五大核心考点。

前置知识：A-Level Mathematics Pure 1（函数、微积分、三角）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是三角函数(Pure 3)？

三角函数(Pure 3)是A-Level Mathematics Pure 1三角函数模块的延伸，相比P1仅考察$\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$的基础性质与简单方程，P3的三角函数引入了更多高阶恒等式与转化技巧，是后续三角求导积分、微分方程、复数辐角计算等考点的基础，在P3考试中占10-15分，属于难度中等、必拿分的核心模块。

2. 倒数三角函数：$\sec ,\csc ,\cot$及其恒等式

核心定义

三类倒数三角函数首次出现，标注英文如下：

• 正割（secant, $\sec \theta$）：$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$，定义域为$\cos \theta \ne 0$的所有$\theta$
• 余割（cosecant, $\csc \theta$）：$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$，定义域为$\sin \theta \ne 0$的所有$\theta$
• 余切（cotangent, $\cot \theta$）：$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$，定义域为$\sin \theta \ne 0$的所有$\theta$

核心恒等式

由P1的${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$可推导两类核心恒等式： $${\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta$$ $${\csc }^2\theta =1+{\cot }^2\theta$$

小范例

已知$\tan \theta =3$，且$\theta$为第三象限角，求$\csc \theta$的值：

1. 由恒等式得${\csc }^2\theta =1+{\cot }^2\theta =1+(\frac{1}{3}{)}^2=\frac{10}{9}$
2. 第三象限角$\sin \theta <0$，故$\csc \theta =-\sqrt{\frac{10}{9}}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$

3. 和角与倍角公式

和角（compound angle）公式

和角公式描述了两个角度和/差的三角函数与单角三角函数的关系，考纲要求直接记忆： $$\sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$$ $$\cos (A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$$ $$\tan (A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$$

倍角（double angle）公式

令和角公式中$A=B$即可推导得到倍角公式，其中$\cos 2A$的三个变形为高频考点： $$\sin 2A=2\sin A\cos A$$ $$\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=2{\cos }^{2}A-1=1-2{\sin }^{2}A$$ $$\tan 2A=\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}$$

小范例

求$\cos 15^{\circ }$的精确值： $$\cos 15^{\circ }=\cos (45^{\circ }-30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

4. $a\sin \theta +b\cos \theta$的$R\sin (\theta +\alpha )$形式

该形式用于将两个不同名的三角项合并为单一三角函数，方便求最值、解方程，是P3高频考点。

推导逻辑

将$R\sin (\theta +\alpha )$展开：$R\sin \theta \cos \alpha +R\cos \theta \sin \alpha$，与$a\sin \theta +b\cos \theta$对应系数相等： $$a=R\cos \alpha ,b=R\sin \alpha$$ 因此可得： $$R=\sqrt{a^2+b^2},\tan \alpha =\frac{b}{a}$$ 注意$\alpha$的象限由$a$（$\cos \alpha$的符号）和$b$（$\sin \alpha$的符号）共同决定，不能仅由$\tan \alpha$的数值直接判断。

小范例

将$2\sin \theta +3\cos \theta$转化为$R\sin (\theta +\alpha )$的形式（$\alpha$保留2位小数，单位弧度）：

1. $R=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\approx 3.61$
2. $\tan \alpha =\frac{3}{2}=1.5$，$a=2>0,b=3>0$，故$\alpha$在第一象限，$\alpha \approx 0.98$弧度
3. 最终形式：$2\sin \theta +3\cos \theta =\sqrt{13}\sin (\theta +0.98)$，最大值为$\sqrt{13}$，最小值为$-\sqrt{13}$

5. 利用恒等式求解三角方程

P3的三角方程通常需要先利用上述恒等式化简，再求解，核心步骤如下：

1. 用恒等式将方程转化为单一三角函数等于常数的形式
2. 注意题目给定的定义域，不要漏解、不要增根
3. 绝对不要直接约掉方程两边可能为0的公因式（如$\cos \theta$）

小范例

解方程$2\sin 2\theta =\sin \theta$，定义域$0^{\circ }\le \theta \le 360^{\circ }$：

1. 替换$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，得$4\sin \theta \cos \theta -\sin \theta =0$
2. 提取公因式：$\sin \theta (4\cos \theta -1)=0$
3. 分两类求解：

• $\sin \theta =0$：$\theta =0^{\circ },180^{\circ },360^{\circ }$
• $\cos \theta =\frac{1}{4}$：$\theta \approx 75.5^{\circ },284.5^{\circ }$

4. 最终共5个有效解

6. 三角恒等式证明

P3的恒等式证明核心原则是从复杂的一侧推导到简单的一侧，禁止默认两边相等直接变形，常用技巧包括：切割化弦（将$\sec ,\csc ,\cot$转化为$\sin ,\cos$）、交叉约分、倍角和角公式替换。

小范例

证明$\frac{1-\cos 2\theta }{\sin 2\theta }=\tan \theta$：

1. 左侧分子替换：$1-\cos 2\theta =2{\sin }^2\theta$
2. 左侧分母替换：$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
3. 左侧化简：$\frac{2{\sin }^2\theta }{2\sin \theta \cos \theta }=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\tan \theta$，与右侧相等，得证

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误做法：解三角方程时直接约掉两边的公因式（如$\cos \theta$）

• 原因：忽略公因式可能为0，导致丢解
• 正确做法：移项提取公因式，分别令每个因式为0求解

2. 错误做法：计算$R\sin (\theta +\alpha )$的$\alpha$时仅看$\tan \alpha$的数值，忽略$a、b$的符号

• 原因：忘记$\alpha$的象限由$\cos \alpha$和$\sin \alpha$的符号共同决定
• 正确做法：根据$a=R\cos \alpha$和$b=R\sin \alpha$的正负确定$\alpha$的象限，再取对应角度

3. 错误做法：记错$\cos 2A$的变形，如写成$\cos 2A=2{\sin }^{2}A-1$

• 原因：三个变形记混，没有理解推导逻辑
• 正确做法：每次用的时候从$\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A$结合${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$快速推导

4. 错误做法：证明恒等式时两边同时乘除同一个式子，默认两边相等

• 原因：混淆了解方程和恒等式证明的逻辑
• 正确做法：从复杂的一侧单独推导到另一侧，或两侧分别化简到同一个表达式

8. 练习题 (A-Level Mathematics Paper 3 风格)

题1

已知$\theta$是第二象限角，且$\cot \theta =-\frac{5}{12}$，求$\sec \theta$的值。 解答：

1. 由$\cot \theta =-\frac{5}{12}$得$\tan \theta =-\frac{12}{5}$
2. 用恒等式${\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta =1+\frac{144}{25}=\frac{169}{25}$
3. 第二象限角$\cos \theta <0$，故$\sec \theta =-\frac{13}{5}$

题2

证明$\sec 2A-\tan 2A=\tan \left(\frac{\pi }{4}-A\right)$ 解答：

1. 左侧切割化弦：$\frac{1}{\cos 2A}-\frac{\sin 2A}{\cos 2A}=\frac{1-\sin 2A}{\cos 2A}$
2. 分子变形：$1-\sin 2A=(\sin A-\cos A{)}^2$，分母变形：$\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=(\cos A-\sin A)(\cos A+\sin A)$
3. 约分：$\frac{(\cos A-\sin A{)}^2}{(\cos A-\sin A)(\cos A+\sin A)}=\frac{\cos A-\sin A}{\cos A+\sin A}$
4. 分子分母同除以$\cos A$：$\frac{1-\tan A}{1+\tan A}=\tan \left(\frac{\pi }{4}-A\right)$，与右侧相等，得证

题3

解方程$4\sin x+3\cos x=2$，定义域$0\le x\le 2\pi$，结果保留2位小数。 解答：

1. 转化为$R\sin (x+\alpha )$形式：$R=\sqrt{4^2+3^2}=5$，$\tan \alpha =\frac{3}{4}$，$\alpha \approx 0.64$弧度，故方程为$5\sin (x+0.64)=2$
2. 化简得$\sin (x+0.64)=0.4$
3. 求解：$x+0.64\approx 0.41,2.73,6.69$
4. 减去0.64得有效解：$x\approx 2.09,6.05$

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

三角函数(Pure 3)是P3后续模块的核心基础，接下来你会用到这些恒等式求解三角积分、微分方程，以及计算复数的辐角，这个模块的熟练度直接决定了你后续内容的学习效率，建议你多练10-15道相关真题，确保所有恒等式都能熟练应用。 如果练题过程中有任何疑问，或者需要更多针对性的练习题目，都可以随时咨询小欧哦。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。