数值方法 (Numerical Methods) — A-Level Mathematics Pure 3 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 3 (Pure Mathematics 3) 的考生。

覆盖内容：符号变化法定根位置、$x_{n+1}=g(x_n)$迭代收敛性、根附近$|g^{\prime }(x)|<1$收敛条件、迭代发散与振荡识别、指定精度下方程求根全考点。

前置知识：A-Level Mathematics Pure 1（函数、微积分、三角）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是数值方法？

数值方法(Numerical Methods)是一类用于求解无解析解的数学问题的近似算法，是A-Level Mathematics P3的必考考点，通常占6-10分，以1道大题的形式出现。 对于多数超越方程（如含$e^x$、$\ln x$、高次多项式的方程），我们无法用代数方法直接得到精确解，因此需要通过数值迭代的方式，逐步逼近满足精度要求的近似解。本章节的所有内容都围绕「快速、准确找到方程近似根」展开。

2. 根的定位：符号变化论证

方程的根(root)是满足$f(x)=0$的$x$取值，符号变化论证(sign-change argument)是定位根所在区间的基础方法： 若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续(continuous)，且$f(a)$与$f(b)$符号相反（即$f(a)f(b)<0$），则区间$(a,b)$内至少存在一个实根。

注意：若$f(x)$存在重根、或区间内有间断点，该规则不成立，是考官常设的陷阱点。

范例：判断$f(x)=e^x+x-3=0$的根所在区间 计算得$f(0)=1+0-3=-2<0$，$f(1)=e+1-3\approx 0.718>0$，$f(x)$是连续的初等函数，因此区间$(0,1)$内存在一个实根。

3. 迭代法基础：$x_{n+1}=g(x_n)$的收敛性

迭代法(iterative method)是求解近似根的核心方法，操作逻辑如下：

1. 将原方程$f(x)=0$变形为等价形式$x=g(x)$，其中$g(x)$为迭代函数
2. 选取靠近根的初始值$x_0$，代入递推公式$x_{n+1}=g(x_n)$，得到序列$x_0,x_1,x_2...$
3. 若序列收敛(converge)到某个固定值$\alpha$，则$\alpha$就是$x=g(x)$的解，也即$f(x)=0$的根。

范例：将$f(x)=e^x+x-3=0$变形为$x=\ln (3-x)$，取$x_0=0.5$迭代： $x_1=\ln (3-0.5)=\ln 2.5\approx 0.9163$ $x_2=\ln (3-0.9163)=\ln 2.0837\approx 0.7340$ $x_3=\ln (3-0.7340)=\ln 2.2660\approx 0.8180$ 可以看到序列逐步向根$\alpha \approx 0.792$靠近，属于收敛迭代。

4. 收敛条件：根附近$|g^{\prime }(x)|<1$

同个方程可以变形出多个不同的$g(x)$，部分会导致迭代发散，判断收敛性的核心条件为： 若迭代函数$g(x)$在根$\alpha$的邻域内可导，且满足$|g^{\prime }(\alpha )|<1$，则当初始值$x_0$足够靠近$\alpha$时，迭代序列必然收敛到$\alpha$。

推导逻辑：设第$n$步的误差为$e_n=x_n-\alpha$，由微分近似得$e_{n+1}=g(x_n)-g(\alpha )\approx g^{\prime }(\alpha )e_n$，因此$|g^{\prime }(\alpha )|<1$时误差会逐步缩小，反之误差会越来越大。

范例：验证上一节迭代的收敛性 迭代函数$g(x)=\ln (3-x)$，导数为$g^{\prime }(x)=-\frac{1}{3-x}$，代入根$\alpha \approx 0.792$得$|g^{\prime }(\alpha )|\approx \frac{1}{2.208}\approx 0.453<1$，符合收敛条件。 若变形为$x=3-e^x$，则$g^{\prime }(x)=-e^x$，$|g^{\prime }(\alpha )|\approx e^{0.792}\approx 2.208>1$，迭代会发散。

5. 迭代发散与振荡的识别

当$|g^{\prime }(\alpha )|>1$时迭代必然不收敛，不收敛的迭代分为两类：

1. 单调发散(monotonic divergent)：$g^{\prime }(\alpha )>1$，序列沿固定方向远离根，例如$g(x)=2x+1$的迭代，值会越来越大
2. 振荡发散(oscillatory divergent)：$g^{\prime }(\alpha )<-1$，序列在根的两侧交替取值，且离根越来越远

特殊情况：若$|g^{\prime }(\alpha )|=1$，迭代会出现振荡但不收敛的情况，也属于无效迭代。

范例：判断迭代$x_{n+1}=2-2x_n^2$的收敛性，根$\alpha \approx 0.7808$ 导数$g^{\prime }(x)=-4x$，代入根得$|g^{\prime }(\alpha )|\approx 3.12>1$，且$g^{\prime }(\alpha )$为负，因此属于振荡发散迭代，代入$x_0=0.8$验证： $x_1=2-2\ast 0.64=0.72$，$x_2=2-2\ast 0.5184=0.9632$，$x_3=2-2\ast 0.9277\approx 0.1446$，可见序列在根两侧跳跃且幅度越来越大。

6. 应用：指定精度下的方程求根

考官通常要求你将根计算到指定的小数位精度，验证精度的官方标准方法为区间符号验证法： 若要求根精确到$k$位小数，你需要找到区间$[a,b]$，满足：

1. $f(a)$与$f(b)$符号相反
2. $a$和$b$四舍五入到$k$位小数的结果完全相同 此时区间内的任意值四舍五入到$k$位小数都为同一个值，精度达标。

注意：相邻迭代值的差小于$5\times 10^{-(k+1)}$仅能作为快速判断的依据，不能替代符号变化法作为精度证明，写在试卷上会丢分。

范例：求$f(x)=e^x+x-3=0$的根精确到2位小数 迭代到$x_7\approx 0.793$，$x_8\approx 0.792$，计算区间端点函数值： $f(0.7915)=e^{0.7915}+0.7915-3\approx 2.207+0.7915-3\approx -0.0015<0$ $f(0.7925)=e^{0.7925}+0.7925-3\approx 2.209+0.7925-3\approx 0.0015>0$ 区间$(0.7915,0.7925)$内的所有值四舍五入到2位小数都是0.79，因此根精确到2位小数为0.79。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误做法：使用符号变化法时忽略$f(x)$连续的前提，直接根据$f(a)f(b)<0$判断有根 原因：忘记间断函数（如$f(x)=1/x$）可能在区间内无定义，符号变化但无实根 正确做法：判断前先说明$f(x)$是连续多项式/初等函数，再代入计算符号
2. 错误做法：计算$g^{\prime }(x)$判断收敛性时，代入初始值$x_0$的导数而非根附近的导数 原因：混淆了收敛条件的适用范围，收敛仅和根附近的导数有关 正确做法：先估算根的近似值，再代入$g^{\prime }(x)$判断收敛性
3. 错误做法：用相邻迭代值的差小于阈值作为精度证明，提交到试卷上 原因：图省事，不了解考官的评分标准 正确做法：所有精度证明必须用区间符号变化法，写清端点函数值的符号
4. 错误做法：将$f(x)=0$变形为$x=g(x)$时移项错误，导致整个迭代无效 原因：变形后没有验证等价性，比如把$x^3+2x-1=0$变形为$x=\frac{x^3+1}{2}$ 正确做法：变形后将根代入两边验证是否相等，确认变形正确再开始迭代

8. 练习题 (A-Level Mathematics P3 风格)

题1

已知$f(x)=x^3-4x+1$， (a) 证明$f(x)=0$在区间$(1,2)$内有一个实根； (b) 将方程变形为$x_{n+1}=\sqrt[3]{4x_n-1}$，取$x_0=1.5$计算前3次迭代值（保留4位小数）； (c) 判断该迭代是否收敛，说明理由； (d) 求根精确到2位小数。

解答 (a) $f(x)$是连续多项式，$f(1)=1-4+1=-2<0$，$f(2)=8-8+1=1>0$，因此$(1,2)$内有实根。 (b) $x_1=\sqrt[3]{4\ast 1.5-1}=\sqrt[3]{5}\approx 1.7100$，$x_2=\sqrt[3]{4\ast 1.7100-1}=\sqrt[3]{5.84}\approx 1.8010$，$x_3=\sqrt[3]{4\ast 1.8010-1}=\sqrt[3]{6.204}\approx 1.8370$。 (c) $g(x)=(4x-1{)}^{1/3}$，$g^{\prime }(x)=\frac{4}{3(4x-1{)}^{2/3}}$，代入根的近似值$\alpha \approx 1.86$，得$|g^{\prime }(\alpha )|\approx 0.39<1$，因此迭代收敛。 (d) 迭代到$x_6\approx 1.860$，$f(1.855)=\approx -0.05<0$，$f(1.865)=\approx 0.03>0$，区间$(1.855,1.865)$四舍五入到2位小数都是1.86，因此根为1.86。

题2

已知方程$e^{2x}-x-5=0$有一个根在$(0.7,0.8)$之间，可变形为两种迭代形式： ① $x_{n+1}=e^{2x_n}-5$；② $x_{n+1}=\frac{1}{2}\ln (x_n+5)$ (a) 判断哪个迭代收敛，说明理由； (b) 用收敛的迭代取$x_0=0.75$，求根精确到3位小数。

解答 (a) ① $g(x)=e^{2x}-5$，$g^{\prime }(x)=2e^{2x}$，在根附近$|g^{\prime }(x)|\approx 8.96>1$，发散；② $g(x)=\frac{1}{2}\ln (x+5)$，$g^{\prime }(x)=\frac{1}{2(x+5)}$，在根附近$|g^{\prime }(x)|\approx 0.087<1$，收敛。 (b) 迭代得$x_4\approx 0.8867$，$f(0.8855)\approx -0.0075<0$，$f(0.8865)\approx 0.0035>0$，区间四舍五入到3位小数都是0.886，因此根为0.886。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

数值方法是A-Level Mathematics P3的独立考点，通常不会和其他P3考点深度结合，掌握本指南的所有内容后，你已经可以拿下这部分的全部分数。后续学习进阶数学时，你还会接触到数值积分、数值微分等延伸内容，本章节的逻辑可以直接复用。 如果你刷真题时遇到任何数值方法相关的疑问，或者需要更多针对性练习题，都可以随时到小欧首页提问，我们会第一时间为你解答。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。