积分 (Pure 3) (Integration (Pure 3)) — A-Level Mathematics Pure 3 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 3 (Pure Mathematics 3) 的考生。

覆盖内容：标准积分公式、换元积分法、分部积分法、部分分式积分法、利用三角恒等式化简积分五大核心子主题。

前置知识：A-Level Mathematics Pure 1（函数、微积分、三角）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按A-Level Mathematics风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是积分(Pure3)？

积分(Pure3)是A-Level Mathematics Pure1积分内容的延伸，核心是求解更复杂函数的原函数(anti-derivative)，是后续微分方程、几何面积体积计算、力学运动学问题求解的核心工具。本章节考点占P3卷面总分的15%-20%，常和微分方程、三角函数等考点结合出8-12分的大题，是P3必须掌握的核心模块。

2. 标准积分 (Standard Integrals)

Pure3在Pure1幂函数积分的基础上，新增5类核心标准积分，所有复杂积分最终都要转化为以下形式求解： $$ \begin{aligned} \int e^{ax+b}dx &= \frac{1}{a}e^{ax+b} + C \ \int \frac{1}{ax+b}dx &= \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C \ \int \sin(ax+b)dx &= -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C \ \int \cos(ax+b)dx &= \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C \ \int \sec^2(ax+b)dx &= \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C \end{aligned} $$ ⚠️ 注意：$\frac{1}{ax+b}$的积分必须加绝对值(absolute value)，否则会因为忽略x<0的情况被扣分。

范例：求$\int \left(2e^{3x}+4{\sec }^2(2x)+\frac{5}{3x-2}\right)dx$ 解答：逐项套用标准积分公式： $$ \begin{aligned} \text{原式} &= 2\cdot\frac{1}{3}e^{3x} + 4\cdot\frac{1}{2}\tan2x + 5\cdot\frac{1}{3}\ln|3x-2| + C \ &= \frac{2}{3}e^{3x} + 2\tan2x + \frac{5}{3}\ln|3x-2| + C \end{aligned} $$

3. 换元积分法 (Integration by Substitution)

本方法核心是通过变量替换$u=f(x)$，将复合函数的积分转化为标准积分形式，步骤如下：

1. 选取$u$为复合函数的内层部分（比如$\sqrt{x^2+1}$的内层是$x^2+1$）
2. 求$\frac{du}{dx}$，变形为$du=f^{\prime }(x)dx$
3. 替换所有$x$的项为$u$，积分后换回原变量$x$（定积分可直接替换上下限，无需换回）

范例：求$\int x\sqrt{x^2+4}dx$ 解答：令$u=x^2+4$，则$\frac{du}{dx}=2x$，即$xdx=\frac{1}{2}du$，替换后： $$ \begin{aligned} \text{原式} &= \int \sqrt{u}\cdot\frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C \ &= \frac{1}{3}(x^2+4)^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned} $$

4. 分部积分法 (Integration by Parts)

本方法来自乘积的求导法则，用于求解两类不同函数乘积的积分，公式为： $$\int udv=uv-\int vdu$$ 选取$u$的优先级口诀为ILATE：反三角函数(Inverse trig) > 对数函数(Logarithm) > 代数函数(Algebra) > 三角函数(Trigonometric) > 指数函数(Exponential)，优先级高的选为$u$，剩余部分为$dv$。

范例：求$\int x{e}^{2x}dx$ 解答：按ILATE规则，代数函数$x$优先级高于指数函数$e^{2x}$，故$u=x$，$dv=e^{2x}dx$，则$du=dx$，$v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$，代入公式： $$ \begin{aligned} \text{原式} &= x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}dx \ &= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \end{aligned} $$

5. 利用部分分式积分 (Integrating using Partial Fractions)

本方法用于求解**有理函数(rational function，多项式除以多项式)**的积分，步骤如下：

1. 若分子次数≥分母次数，先做多项式长除法，拆分为多项式+真分式
2. 将真分式拆分为部分分式之和
3. 逐项套用标准积分公式求解

范例：求$\int \frac{4x+1}{(x+2)(x-1)}dx$ 解答：先拆分部分分式，设$\frac{4x+1}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$，通分后得： $4x+1=A(x-1)+B(x+2)$，代入$x=1$得$5=3B$即$B=\frac{5}{3}$，代入$x=-2$得$-7=-3A$即$A=\frac{7}{3}$，因此： $$ \begin{aligned} \text{原式} &= \int \left(\frac{7/3}{x+2} + \frac{5/3}{x-1}\right)dx \ &= \frac{7}{3}\ln|x+2| + \frac{5}{3}\ln|x-1| + C \end{aligned} $$

6. 利用三角恒等式化简积分 (Trigonometric identities to simplify integrals)

当被积函数为高次三角函数或三角函数乘积时，需用三角恒等式化简为可积分的形式，考纲要求掌握的核心恒等式如下：

• 二倍角公式：${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
• 乘积和差公式：$\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin (A+B)+\sin (A-B)]$
• 平方关系：${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$

范例：求$\int {\sin }^{2}2xdx$ 解答：用二倍角公式化简： $$ \begin{aligned} \text{原式} &= \int \frac{1-\cos4x}{2}dx = \frac{1}{2}\int1dx - \frac{1}{2}\int\cos4x dx \ &= \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}\sin4x + C \end{aligned} $$

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：积分$\int \frac{1}{ax+b}dx$时漏掉绝对值，写成$\ln (ax+b)+C$。原因：忽略对数定义域要求真数为正，$ax+b$可能为负。正确做法：必须加绝对值，否则直接扣1分。
2. 错误：分部积分时$u$和$dv$选反，导致积分越来越复杂。原因：未掌握ILATE优先级规则。正确做法：严格按反三角>对数>代数>三角>指数的顺序选$u$。
3. 错误：定积分换元后未替换上下限，仍用原$x$的上下限计算。原因：混淆不定积分和定积分的换元规则。正确做法：换元后立刻替换为对应$u$的上下限，直接计算即可，无需换回$x$。
4. 错误：有理函数积分时分子次数≥分母次数，未做长除法直接拆分部分分式。原因：忽略部分分式仅适用于真分式的要求。正确做法：先做长除法，拆分为多项式加真分式后再拆分。

8. 练习题 (A-Level Mathematics Paper 3 风格)

题1

求$\int \left(3e^{2x-1}+4\cos 3x+\frac{2}{5x+3}\right)dx$ 解答：逐项套用标准积分： $$ \text{原式} = \frac{3}{2}e^{2x-1} + \frac{4}{3}\sin3x + \frac{2}{5}\ln|5x+3| + C $$

题2

用分部积分法求$\int x\ln xdx$ 解答：对数优先级高于代数函数，故$u=\ln x$，$dv=xdx$，则$du=\frac{1}{x}dx$，$v=\frac{1}{2}{x}^2$： $$ \begin{aligned} \text{原式} &= \frac{1}{2}x^2\ln x - \int \frac{1}{2}x^2\cdot\frac{1}{x}dx = \frac{1}{2}x^2\ln x - \frac{1}{2}\int x dx \ &= \frac{1}{2}x^2\ln x - \frac{1}{4}x^2 + C \end{aligned} $$

题3

求定积分${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{2}xdx$ 解答：用恒等式${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$化简： $$ \begin{aligned} \text{原式} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2x -1)dx = \left[\tan x - x\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \ &= (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

本章节的积分知识是后续P3微分方程模块的核心基础，考试中常和微分方程结合出10分左右的大题，你需要熟练判断不同积分的适用场景，才能快速拆解复合考点的题目。建议你在掌握基础方法后，重点练习近5年真题中的积分大题，总结高频考法。

如果你在刷题过程中遇到任何积分相关的疑问，或者需要更多针对性的练习题，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供个性化的解答和学习规划。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。