微分 (Pure 3) (Differentiation (Pure 3)) — A-Level Mathematics Pure 3 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 3 (Pure Mathematics 3) 的考生。

覆盖内容：乘积法则、商法则、链式法则、常用函数导数公式、隐函数求导、参数方程求导、隐函数与参数方程形式下的驻点与曲率全部考纲内容。

前置知识：A-Level Mathematics Pure 1（函数、微积分、三角）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是微分 (Pure 3)？

微分 (Pure 3) 是A-Level Mathematics Pure 1微分内容的延伸，核心是解决更复杂的复合函数、隐函数、参数方程的求导问题，以及用导数分析函数的驻点、凹凸性等性质。本章在P3考试中占比约10%-15%，常和积分、坐标几何、微分方程结合出综合题，是P3的核心基础章节。

2. 乘积、商与链式法则 (Product, quotient and chain rules)

三个基础求导法则是所有复杂求导的基础，需熟练掌握：

1. 乘积法则 (product rule)：适用于两个函数相乘的场景，若$y=u\cdot v$（$u、v$均为$x$的函数），则： $$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$
2. 商法则 (quotient rule)：适用于两个函数相除的场景，若$y=\frac{u}{v}$，则： $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$$ 注意分子的减号顺序是固定的，不能颠倒。
3. 链式法则 (chain rule)：适用于复合函数场景，若$y$是$u$的函数，$u$是$x$的函数，则： $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$$ 多层嵌套的复合函数需要逐层求导后相乘。

范例：求$y=x^3{e}^{2x}$的一阶导数 令$u=x^3$，$v=e^{2x}$，则$\frac{du}{dx}=3x^2$，$\frac{dv}{dx}=2e^{2x}$，代入乘积法则得： $$\frac{dy}{dx}=x^3\cdot 2e^{2x}+e^{2x}\cdot 3x^2=x^2{e}^{2x}(2x+3)$$

3. 常用函数导数 (Derivatives of $e^x,\ln x,\sin x,\cos x,\tan x$)

P3要求掌握的基础函数导数公式（含复合形式）如下，所有复合形式的推导都基于链式法则：

范例：求$y=\ln (3x-2)+\cos (4x)+\tan x$的一阶导数 分别对三项求导后相加： $$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{3x-2}-4\sin (4x)+{\sec }^{2}x$$

4. 隐函数求导 (Implicit differentiation)

当函数以$F(x,y)=0$的隐式形式给出，无法整理为$y=f(x)$的显式形式时，使用隐函数求导：对等式两边同时对$x$求导，遇到含$y$的项时，先对$y$求导再乘$\frac{dy}{dx}$（本质是链式法则，因为$y$是$x$的函数），最后整理出$\frac{dy}{dx}$的表达式即可。

范例：已知$x^2+2xy+y^3=5$，求点$(1,1)$处的切线斜率 对等式两边同时对$x$求导： $$2x+\left(2x\cdot \frac{dy}{dx}+2y\cdot 1\right)+3y^2\cdot \frac{dy}{dx}=0$$ 整理含$\frac{dy}{dx}$的项： $$\frac{dy}{dx}(2x+3y^2)=-2x-2y$$ 代入$x=1,y=1$得： $$\frac{dy}{dx}=\frac{-2-2}{2+3}=-\frac{4}{5}$$ 即点$(1,1)$处的切线斜率为$-\frac{4}{5}$。

5. 参数方程求导 (Parametric differentiation)

当$x、y$都通过第三个参数$t$表示（即$x=f(t),y=g(t)$）时，使用参数方程求导： 一阶导数公式： $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}(\frac{dx}{dt}\ne 0)$$ 二阶导数是高频考点，不能直接用二阶导的比值计算，需用链式法则推导： $$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\times \frac{dt}{dx}$$

范例：已知参数方程$x=2t+1$，$y=t^3-3t$，求$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 首先求一阶导数：$\frac{dx}{dt}=2$，$\frac{dy}{dt}=3t^2-3$，所以$\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-3}{2}$ 再求二阶导数：$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=3t$，$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}$，所以： $$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=3t\times \frac{1}{2}=\frac{3t}{2}$$

6. 隐函数/参数形式下的驻点与曲率 (Stationary points and curvature)

驻点 (stationary point) 的定义始终是$\frac{dy}{dx}=0$的点，无论函数是显式、隐式还是参数方程形式：

1. 隐函数：令整理后的$\frac{dy}{dx}=0$，结合原隐函数方程求解对应的$x、y$坐标
2. 参数方程：令$\frac{dy}{dx}$的分子为0（分母不为0），求解对应的$t$，再代入参数方程得到$x、y$坐标

极值判断方法和P1一致：若$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}>0$为极小值点，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}<0$为极大值点；曲率、凹凸性由二阶导数的符号决定，二阶导数变号的点为拐点。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：商法则分子的减号顺序颠倒，写成$u\frac{dv}{dx}-v\frac{du}{dx}$ 原因：和乘积法则的加号记忆混淆 正确做法：记忆口诀"下导上减上导下，分母平方别忘啦"，做题时先写公式再代入
2. 错误：隐函数求导时，含$y$的项忘记乘$\frac{dy}{dx}$ 原因：误以为$y$是常数，忽略$y$是$x$的函数 正确做法：所有对$y$的求导操作后都要乘以$\frac{dy}{dx}$
3. 错误：参数方程求二阶导数时，直接计算$\frac{d^{2}y/d{t}^2}{d^{2}x/d{t}^2}$ 原因：和一阶导数的求法混淆，忽略二阶导数的推导逻辑 正确做法：牢记二阶导数公式，先对一阶导数关于$t$求导，再乘以$dt/dx$
4. 错误：$\cos x$的导数忘记加负号，$\tan x$的导数记错为$\sec x$ 原因：和$\sin x$的导数记忆混淆 正确做法：每次做题前先默写3遍基础导数公式，熟练后再做题
5. 错误：复合函数求导时漏了内层函数的导数，比如$\frac{d}{dx}(e^{2x})=e^{2x}$ 原因：链式法则应用不熟练 正确做法：遇到复合函数先拆分内外层，逐层求导后相乘

8. 练习题 (A-Level Mathematics P3 风格)

题1

求函数$y=\frac{\sin 2x}{x^2+1}$的一阶导数。 解答：使用商法则，令$u=\sin 2x$，$v=x^2+1$ 则$\frac{du}{dx}=2\cos 2x$，$\frac{dv}{dx}=2x$，代入公式： $$\frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+1)\cdot 2\cos 2x-\sin 2x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2\left[(x^2+1)\cos 2x-x\sin 2x\right]}{(x^2+1{)}^2}$$

题2

已知隐函数$e^y+x\ln y=3x$，求$\frac{dy}{dx}$在点$(1,0)$处的值。 解答：两边对$x$求导： $$e^y\cdot \frac{dy}{dx}+\ln y+x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=3$$ 代入$x=1,y=0$： $$1\cdot \frac{dy}{dx}+0+0=3⟹\frac{dy}{dx}=3$$

题3

已知参数方程$x=t^2$，$y=2t^3-12t$，求驻点坐标并判断极值类型。 解答：$\frac{dx}{dt}=2t$，$\frac{dy}{dt}=6t^2-12$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{6t^2-12}{2t}=\frac{3t^2-6}{t}$ 令$\frac{dy}{dx}=0$得$3t^2-6=0⟹t=\pm \sqrt{2}$（$t\ne 0$）

• $t=\sqrt{2}$时，$x=2$，$y=2\times (\sqrt{2}{)}^3-12\times \sqrt{2}=-8\sqrt{2}$
• $t=-\sqrt{2}$时，$x=2$，$y=2\times (-\sqrt{2}{)}^3-12\times (-\sqrt{2})=8\sqrt{2}$ 二阶导数：$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=\frac{6t\cdot t-(3t^2-6)\cdot 1}{t^2}=\frac{3t^2+6}{t^2}$，$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2t}$ 所以$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3t^2+6}{t^2}\times \frac{1}{2t}=\frac{3t^2+6}{2t^3}$
• $t=\sqrt{2}$时，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}>0$，为极小值点，坐标$(2,-8\sqrt{2})$
• $t=-\sqrt{2}$时，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}<0$，为极大值点，坐标$(2,8\sqrt{2})$

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

本章是P3积分、微分方程章节的前置核心知识，后续你学习换元积分、分部积分、一阶微分方程求解时，都需要熟练运用本章的求导技巧；同时微分内容也常和坐标几何、复数结合出综合大题，占分比稳定在15%左右，一定要通过足够的真题练习巩固熟练度。 如果你在做真题或练习题时遇到任何微分相关的问题，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供针对性的解题指导和知识点补漏。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。