A-Level · cie-9709 · Paper 3 (Pure Mathematics 3) · Differential Equations / 微分方程 · 阅读约 15 分钟 · 更新于 2026-05-06

微分方程 (Differential Equations) — A-Level Mathematics Pure 3 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 3 (Pure Mathematics 3) 的考生。

覆盖内容：一阶可分离微分方程求解、初始条件求特解、微分方程实际场景建模、导数符号与平衡态分析全部考纲要求内容。

前置知识：A-Level Mathematics Pure 1（函数、微积分、三角）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是微分方程？

微分方程（Differential Equation）是包含未知函数的导数（或微分）的等式，核心是描述变量的变化率与变量本身、自变量之间的关系。A-Level Mathematics P3考纲仅要求掌握一阶常微分方程（仅包含一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ ，不含更高阶导数），通常在考试中占5-8分，以1道独立大题的形式出现，偶尔和积分、对数运算等考点结合出题。

2. 一阶可分离微分方程（First-order separable equations）

本考点是微分方程的基础，考纲要求掌握形式为 $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$ 的方程求解，其中 $f (x)$ 是仅含自变量 $x$ 的函数， $g (y)$ 是仅含因变量 $y$ 的函数。

核心解法

分离变量：将所有含 $y$ 的项移到等式左侧，所有含 $x$ 的项移到等式右侧，得到 $\frac{1}{g ( y )} d y = f (x) d x$ ；
两边同时积分： $\int \frac{1}{g ( y )} d y = \int f (x) d x + C$ ，其中 $C$ 为任意积分常数，注意仅需在一侧加常数即可；
整理得到通解（general solution）：通解为包含任意常数 $C$ 的解，对应无数条函数曲线。

范例

求解微分方程 $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} y$ ：

分离变量得 $\frac{1}{y} d y = 3 x^{2} d x$ ；
两边积分： $\int \frac{1}{y} d y = \int 3 x^{2} d x$ ，得 $ln ∣ y ∣ = x^{3} + C$ ；
整理得通解： $y = A e^{x^{3}}$ ，其中 $A = \pm e^{C}$ 为非零任意常数。

3. 初始条件求特解（Initial conditions to find the particular solution）

通解包含任意常数，对应无数个解，若给定初始条件（initial condition，即某一自变量 $x_{0}$ 对应的因变量值 $y_{0}$ ），就可以求出常数 $C$ 的具体值，得到唯一的特解（particular solution）。

核心步骤

先求出微分方程的通解；
将初始条件 $(x_{0}, y_{0})$ 代入通解，求解出常数 $C$ 的具体值；
将 $C$ 代回通解，得到唯一的特解。

范例

已知微分方程 $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} y$ 的初始条件为 $x = 0$ 时 $y = 2$ ，求特解：

通解为 $y = A e^{x^{3}}$ ；
代入 $x = 0, y = 2$ ，得 $2 = A e^{0}$ ，解得 $A = 2$ ；
特解为 $y = 2 e^{x^{3}}$ 。

4. 实际场景建模（Word-problem modelling）

微分方程的应用题是P3高频考点，常考三类场景：人口增长、牛顿冷却、混合问题，核心是根据题目的文字描述，建立符合变化规律的微分方程。

常见建模公式

人口增长（Population growth）：指数增长模型为 $\frac{d P}{d t} = k P$ ，逻辑增长模型为 $\frac{d P}{d t} = k P (M - P)$ ，其中 $M$ 为环境最大承载量；
牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）： $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{s})$ ，其中 $T$ 为物体温度， $T_{s}$ 为环境温度， $k$ 为正的常数；
混合问题（Mixing）： $\frac{d m}{d t} = 流入溶质速率 - 流出溶质速率$ ，其中 $m$ 为容器内溶质质量。

范例

一杯咖啡初始温度为85℃，放置在温度为25℃的房间中，5分钟后温度降到60℃，求温度 $T$ 与时间 $t$ 的函数关系：

建立方程： $\frac{d T}{d t} = - k (T - 25)$ ；
分离变量积分得 $ln ∣ T - 25∣ = - k t + C$ ，代入初始条件 $t = 0, T = 85$ 得 $C = ln 60$ ；
代入 $t = 5, T = 60$ 得 $ln 35 = - 5 k + ln 60$ ，解得 $k = \frac{l n ( 60/35 )}{5} \approx 0.108$ ；
最终特解为 $T = 25 + 60 e^{- 0.108 t}$ 。

5. 导数符号与平衡态分析（Sign of $\frac{d y}{d x}$ and equilibrium analysis）

平衡态（equilibrium state）是指 $\frac{d y}{d x} = 0$ 的状态，此时因变量 $y$ 不随自变量变化，保持恒定。通过分析 $\frac{d y}{d x}$ 在平衡态两侧的符号，可以判断平衡态的稳定性：

稳定平衡：若 $y$ 略大于平衡值时 $\frac{d y}{d x} < 0$ （ $y$ 会下降回到平衡值）， $y$ 略小于平衡值时 $\frac{d y}{d x} > 0$ （ $y$ 会上升回到平衡值），则为稳定平衡；
不稳定平衡：若 $y$ 偏离平衡值后会越来越远离平衡态，则为不稳定平衡。

范例

某种群增长满足 $\frac{d P}{d t} = 0.05 P (2000 - P)$ ，分析平衡态：

令 $\frac{d P}{d t} = 0$ ，得平衡态 $P = 0$ 和 $P = 2000$ ；
当 $0 < P < 2000$ 时 $\frac{d P}{d t} > 0$ ，种群数量上升；当 $P > 2000$ 时 $\frac{d P}{d t} < 0$ ，种群数量下降；
因此 $P = 2000$ 是稳定平衡， $P = 0$ 是不稳定平衡，最终种群数量会稳定在2000。

6. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

错误做法：积分时两边都加常数，或者漏写常数；原因：忘记积分常数是任意的，可合并为一个常数；正确做法：仅在等式一侧加任意常数 $C$ 。
错误做法：对数积分时漏写绝对值，直接写 $\int \frac{1}{y} d y = ln y$ ；原因：忽略 $y$ 可能为负的情况，导致定义域错误；正确做法：先写 $ln ∣ y ∣$ ，结合初始条件判断符号后再去掉绝对值。
错误做法：建模时符号搞反，比如冷却定律写成 $\frac{d T}{d t} = k (T - T_{s})$ ，得到温度越来越高的错误结果；原因：忽略变化率的物理意义，下降的变化率为负；正确做法：建模后先验证变化方向是否符合实际场景。
错误做法：代入初始条件时混淆 $x$ 和 $y$ 的数值，导致常数计算错误；原因：解题时粗心赶时间；正确做法：代入后立刻验证数值是否符合原方程。

7. 练习题 (A-Level Mathematics P3 风格)

第1题

求微分方程 $\frac{d y}{d x} = \frac{x ( y ^{2} + 4 )}{y ( x ^{2} + 1 )}$ 的通解。

解答

分离变量得： $\frac{y}{y ^{2} + 4} d y = \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$
两边积分：左边 $\int \frac{y}{y ^{2} + 4} d y = \frac{1}{2} ln (y^{2} + 4)$ ，右边 $\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
两边乘2，将 $2 C$ 替换为 $ln A$ （ $A$ 为正的任意常数），得 $ln (y^{2} + 4) = ln (x^{2} + 1) + ln A$
整理得通解： $y^{2} + 4 = A (x^{2} + 1)$

第2题

若上述方程的初始条件为 $x = 0$ 时 $y = 2$ ，求特解。

解答

将 $x = 0, y = 2$ 代入通解： $4 + 4 = A (0 + 1)$ ，解得 $A = 8$
特解为： $y^{2} = 8 x^{2} + 4$

第3题

某地区人口增长满足 $\frac{d P}{d t} = 0.01 P (100000 - P)$ ， $P$ 单位为人， $t$ 单位为年，初始人口为5000人，求人口达到50000人所需的时间。

解答

分离变量得： $\int \frac{1}{P ( 100000 - P )} d P = \int 0.01 d t$
部分分式分解左边： $\frac{1}{P ( 100000 - P )} = \frac{1}{100000} (\frac{1}{P} + \frac{1}{100000 - P})$
积分得： $\frac{1}{100000} ln (\frac{P}{100000 - P}) = 0.01 t + C$
代入初始条件 $t = 0, P = 5000$ ： $\frac{1}{100000} ln (\frac{5000}{95000}) = C$ ，得 $C \approx - 2.944 \times 1 0^{- 6}$
代入 $P = 50000$ ：左边为 $\frac{1}{100000} ln 1 = 0$ ，解得 $0 = 0.01 t - 2.944 \times 1 0^{- 6} \times 100000$ ，得 $t \approx 29.4$ 年，约29年。

8. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

知识点	核心内容
一阶可分离微分方程	形式： $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$ ，解法：分离变量后积分 $\int \frac{1}{g ( y )} d y = \int f (x) d x + C$
特解求解	代入初始条件 $(x_{0}, y_{0})$ 求出常数 $C$ 的具体值
常见建模公式	指数增长： $\frac{d y}{d t} = k y$ ，解为 $y = y_{0} e^{k t}$ 牛顿冷却： $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{s})$ ，解为 $T = T_{s} + (T_{0} - T_{s}) e^{- k t}$ 逻辑增长： $\frac{d P}{d t} = k P (M - P)$
平衡态分析	令 $\frac{d y}{d x} = 0$ 得平衡态，两侧导数符号向平衡态收敛则为稳定平衡，反之为不稳定

9. 接下来怎么学

微分方程是A-Level Mathematics P3的独立考点，掌握好本章内容后，你可以继续学习P3的复数、向量、微分等其他考点，也可以通过刷2019年后的历年真题巩固微分方程的解题熟练度，熟悉考官的出题套路和评分标准。

如果在刷题过程中遇到任何不会的题目，或者对知识点有疑问，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供针对性的解答。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。

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