复数 (Complex Numbers) — A-Level Mathematics Pure 3 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 3 (Pure Mathematics 3) 的考生。

覆盖内容：覆盖i的定义与实部虚部、模与辐角及极坐标形式、极坐标形式下的乘除运算、阿尔冈图几何表示、阿尔冈图上的圆与垂直平分线轨迹五大核心考点。

前置知识：A-Level Mathematics Pure 1（函数、微积分、三角）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是复数？

复数 (Complex Number) 是实数集的扩展，为解决负数无法开平方的问题引入，是A-Level Mathematics Pure 3的开篇基础考点，后续会结合棣莫弗定理、微分方程等内容综合考察。所有复数都可以写成 $z=a+bi$ 的代数形式，其中 $i$ 是满足 $i^2=-1$ 的虚数单位，$a、b$ 均为实数。

2. $i$的定义、实部与虚部

我们定义虚数单位 (imaginary unit) $i$ 满足 $i^2=-1$，因此任意负数的平方根都可以用$i$表示，例如 $\sqrt{-4}=2i$。 对于复数 $z=a+bi$：

• 实数 $a$ 称为实部 (real part)，记为 $\mathrm{Re}(z)=a$
• 实数 $b$ 称为虚部 (imaginary part)，记为 $\mathrm{Im}(z)=b$

注意虚部是不含$i$的实数，这是考官常考的易错点。例如复数 $z=2-5i$ 的实部 $\mathrm{Re}(z)=2$，虚部 $\mathrm{Im}(z)=-5$，而非 $-5i$。

3. 模 (Modulus)、辐角 (Argument) 与极坐标形式

模的定义

复数的模是其在平面上对应点到原点的距离，记为 $|z|$，对于 $z=a+bi$，有： $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}\ge 0$$ 模始终是非负实数，只有当$z=0$时模为0。

主值辐角的定义

辐角是正实轴逆时针转到复数对应向量的夹角，A-Level要求使用主值辐角，范围为 $-\pi <\arg (z)\le \pi$。计算时需要先判断复数所在象限，再调整角度到主值范围内：

• 第一象限：$\arg (z)=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
• 第二象限：$\arg (z)=\pi +\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
• 第三象限：$\arg (z)=-\pi +\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
• 第四象限：$\arg (z)=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$

极坐标形式

结合模和辐角，复数可以写成极坐标形式 (polar form)： $$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r\mathrm{cis}\theta$$ 其中$r=|z|$，$\theta =\arg (z)$，$\mathrm{cis}\theta$是$\cos \theta +i\sin \theta$的缩写，A-Level考试中可以直接使用。例如$z=-1+i$的模为$\sqrt{2}$，辐角为$\frac{3\pi }{4}$，极坐标形式为$\sqrt{2}\mathrm{cis}\frac{3\pi }{4}$。

4. 极坐标形式下的乘除运算

极坐标形式的核心优势是简化乘除运算，规则如下： 若 $z_1=r_1\mathrm{cis}{\theta }_1$，$z_2=r_2\mathrm{cis}{\theta }_2$，则：

• 乘法：模相乘，辐角相加 $$z_1{z}_2=r_1{r}_2\mathrm{cis}({\theta }_1+{\theta }_2)$$
• 除法：模相除，辐角相减 $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\mathrm{cis}({\theta }_1-{\theta }_2)$$

例如$z_1=4\mathrm{cis}\frac{\pi }{3}$，$z_2=2\mathrm{cis}\frac{\pi }{6}$，则$z_1{z}_2=8\mathrm{cis}\frac{\pi }{2}=8i$，$\frac{z_1}{z_2}=2\mathrm{cis}\frac{\pi }{6}$，比展开代数形式计算效率高很多。

5. 阿尔冈图 (Argand Diagram) 几何表示

阿尔冈图是复数的几何可视化工具，本质是平面直角坐标系：

• x轴为实轴，对应复数的实部
• y轴为虚轴，对应复数的虚部

每个复数$z=a+bi$对应阿尔冈图上的点$(a,b)$，也对应从原点出发的向量$\overrightarrow{OZ}=(a,b)$：模就是向量的长度，辐角就是向量与正实轴的夹角。例如$z=-3i$对应点$(0,-3)$，模为3，辐角为$-\frac{\pi }{2}$。

6. 阿尔冈图上的轨迹：圆与垂直平分线

A-Level Mathematics P3中常考的阿尔冈图轨迹有两类，都可以用模的几何意义推导：

轨迹1：圆

$|z-z_1|=r$表示所有到点$z_1$的距离等于$r$的点，即以$z_1$为圆心，$r$为半径的圆。注意要把式子写成$|z-(x_1+y_{1}i)|$的形式，圆心坐标为$(x_1,y_1)$，例如$|z+2-3i|=4$的圆心为$(-2,3)$，半径为4。

轨迹2：垂直平分线

$|z-z_1|=|z-z_2|$表示所有到$z_1$和$z_2$距离相等的点，即**$z_1$和$z_2$连线的垂直平分线**。例如$|z-1|=|z+i|$就是点$(1,0)$和$(0,-1)$连线的垂直平分线，化简后方程为$x+y=0$。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：计算虚部时带$i$，例如把$z=4-7i$的虚部写为$-7i$

• 原因：混淆了虚部项和虚部的定义
• 正确做法：虚部是$i$的系数，为实数，$\mathrm{Im}(z)=-7$

2. 错误：辐角超出主值范围，例如把$z=-1-i$的辐角写为$\frac{5\pi }{4}$

• 原因：忘记A-Level要求主值辐角在$(-\pi ,\pi ]$区间
• 正确做法：超出范围的角度加减$2\pi$调整，$\arg (z)=-\frac{3\pi }{4}$

3. 错误：极坐标形式模为负，例如把$-3\mathrm{cis}\frac{\pi }{4}$当成标准极坐标形式

• 原因：忽略极坐标形式要求模$r\ge 0$
• 正确做法：把负号转换到辐角中，改为$3\mathrm{cis}\left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)=3\mathrm{cis}\frac{5\pi }{4}$

4. 错误：轨迹圆心找错，例如把$|z+1+2i|=3$的圆心写为$(1,2)$

• 原因：没有把式子整理为$|z-z_1|$的形式
• 正确做法：改写为$|z-(-1-2i)|$，圆心为$(-1,-2)$

8. 练习题 (A-Level Mathematics P3 风格)

题1

已知复数$z=\frac{2+6i}{1-i}$，求$z$的实部、虚部、模和主值辐角（辐角保留精确形式）。

解答

先化简$z$，分子分母同乘分母的共轭复数$1+i$： $$z=\frac{(2+6i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+6i+6i^2}{1+1}=\frac{2+8i-6}{2}=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i$$

• 实部$\mathrm{Re}(z)=-2$
• 虚部$\mathrm{Im}(z)=4$
• 模$|z|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
• $z$在第二象限，$\arg (z)=\pi -\arctan \left(\frac{4}{2}\right)=\pi -\arctan 2$

题2

已知$z_1=6\mathrm{cis}\frac{\pi }{2}$，$z_2=2\mathrm{cis}\frac{\pi }{6}$，求$\frac{z_1}{z_2}$的极坐标形式和代数形式。

解答

极坐标形式：模相除，辐角相减 $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{6}{2}\mathrm{cis}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=3\mathrm{cis}\frac{\pi }{3}$$ 转换为代数形式： $$3\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=3\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$$

题3

写出满足$|z-3+i|=|z+2-4i|$的轨迹的笛卡尔方程。

解答

该轨迹是点$(3,-1)$和$(-2,4)$连线的垂直平分线，设$z=x+yi$，代入得： $$\sqrt{(x-3{)}^2+(y+1{)}^2}=\sqrt{(x+2{)}^2+(y-4{)}^2}$$ 两边平方化简： $$(x^2-6x+9)+(y^2+2y+1)=(x^2+4x+4)+(y^2-8y+16)$$ $$-6x+2y+10=4x-8y+20$$ $$-10x+10y-10=0$$ 最终方程为$y=x+1$

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

复数是Pure 3的核心基础章节，后续你会学习用棣莫弗定理计算复数的高次幂、求复数的$n$次方根，还会遇到复数和微分方程、级数结合的综合考题，熟练掌握本章的模、辐角、轨迹等基础概念是后续解题的核心前提。 如果你在练题过程中有任何疑问，或者需要更多针对性的练习题和考点解析，都可以随时到小欧首页提问，我们会为你提供专属的学习指导。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。