A-Level 数学 · Paper 1 (Pure Mathematics 1) · Series / 数列 · 阅读约 15 分钟 · 更新于 2026-05-06

数列 (Series) — A-Level Mathematics Pure 1 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 1 (Pure Mathematics 1) 的考生。

覆盖内容：覆盖等差数列、等比数列、无穷等比数列求和、正整数指数二项式展开、西格玛符号定义、数列实际应用六大核心子主题。

前置知识：IGCSE / Add-Maths 代数、绘制基本曲线、解一次方程与简单二次方程。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是数列（Series）？

数列是按固定顺序排列的数字序列，其中每个数字称为项（term），通常用 $u_{n}$ 表示第 $n$ 项；所有项的加和称为级数（series）。本章节是A-Level Mathematics Paper 1的核心考点，占比约10%-15%，常出1-2道解答题，偶尔搭配选择题考查。

2. 等差数列（Arithmetic Progressions, AP）

等差数列是相邻两项的差值为固定常数的数列，这个固定常数称为公差（common difference），记为 $d$ ，数列的第一个项称为首项（first term），记为 $a$ 。

通项公式（第 $n$ 项的值）： $u_{n} = a + (n - 1) d$ 公式推导逻辑：第1项为 $a$ ，第2项加1次 $d$ ，第 $n$ 项共加 $n - 1$ 次 $d$ 。
前 $n$ 项和公式： $S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) d) = \frac{n}{2} (a + l)$ 其中 $l$ 为第 $n$ 项（末项），公式推导逻辑：首项加末项的和乘以项数除以2，和小学梯形面积公式逻辑一致。

范例：已知AP首项为3，公差为2，第5项 $u_{5} = 3 + (5 - 1) \times 2 = 11$ ，前5项和 $S_{5} = \frac{5}{2} \times (3 + 11) = 35$ 。

3. 等比数列（Geometric Progressions, GP）

等比数列是相邻两项的比值为非零固定常数的数列，这个固定常数称为公比（common ratio），记为 $r$ ，首项同样记为 $a$ 。

通项公式： $u_{n} = a r^{n - 1}$
前 $n$ 项和公式： $S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} (r \neq = 1)$ 若 $r > 1$ ，可改写为 $S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ 避免负数运算；若 $r = 1$ ，所有项相等， $S_{n} = na$ 。

范例：已知GP首项为2，公比为3，第4项 $u_{4} = 2 \times 3^{4 - 1} = 54$ ，前4项和 $S_{4} = \frac{2 \times ( 3 ^{4} - 1 )}{3 - 1} = 80$ 。

4. 无穷等比数列求和（Sum to Infinity）

当等比数列的公比满足 $∣ r ∣ < 1$ 时， $r^{n}$ 会随着 $n$ 趋近于无穷大而趋近于0，此时前 $n$ 项和的极限为固定值，称为无穷和： $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} (∣ r ∣ < 1)$ 若 $∣ r ∣ \geq 1$ ，数列的和会持续增大/正负振荡，称为发散级数（divergent series），不存在无穷和。

范例：已知GP首项为4，公比为 $\frac{1}{2}$ ，满足 $∣ r ∣ < 1$ ，因此无穷和 $S_{\infty} = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = 8$ 。

5. 正整数指数二项式展开（Binomial Expansion）

当 $n$ 为正整数时， $(a + b)^{n}$ 可以展开为 $n + 1$ 个项的和，公式为： $(a + b)^{n} = r = 0 \sum n (r n) a^{n - r} b^{r}$ 其中 $(r n)$ 为二项式系数，计算公式为 $(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ ，也可以通过帕斯卡三角形直接读取。

范例：展开 $(2 x + 1)^{3}$ ： $$\begin{align*} (2x+1)^3 &= \binom{3}{0}(2x)^3\times1^0 + \binom{3}{1}(2x)^2\times1^1 + \binom{3}{2}(2x)^1\times1^2 + \binom{3}{3}(2x)^0\times1^3 \ &= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 \end{align*}$$

6. 西格玛符号（Sigma Notation）与递推/显式定义

$\sum$ 是求和符号，读作西格玛， $\sum_{r = m}^{k} u_{r}$ 表示从第 $m$ 项到第 $k$ 项的所有项加和，总项数为 $k - m + 1$ 。

显式定义：直接给出第 $n$ 项关于 $n$ 的表达式，比如 $u_{n} = 2 n + 1$ ，可以直接代入 $n$ 的数值求任意项。
递推定义：给出前项和后项的关系，比如 $u_{1} = 1, u_{n + 1} = u_{n} + 3$ ，需要从首项开始逐步计算才能得到对应项的值，这也是等差数列的递推表达式。

范例：计算 $\sum_{r = 1}^{4} (3 r - 1)$ ： $r = 1 \sum 4 (3 r - 1) = 2 + 5 + 8 + 11 = 26$ 也可以用等差数列求和公式直接计算： $S_{4} = \frac{4}{2} \times (2 + 11) = 26$ 。

7. 数列实际应用题

本章节最常考的应用题有两类：**复利（compound interest）和循环小数（repeating decimals）**转化。

复利计算：初始本金为 $P$ ，年利率为 $r %$ ，每年复利一次，第 $n$ 年的本息和为 $P \times (1 + \frac{r}{100})^{n}$ ，本质是首项为 $P$ 、公比为 $1 + \frac{r}{100}$ 的等比数列。
循环小数转化：将循环小数拆分为无穷等比数列的和，用无穷和公式计算即可得到分数形式。

范例：将 $0. \dot{7} \dot{2}$ 化为最简分数： $0. \dot{7} \dot{2} = 0.72 + 0.0072 + 0.000072 + ...$ 这是首项 $a = 0.72$ 、公比 $r = 0.01$ 的无穷等比数列，因此 $S_{\infty} = \frac{0.72}{1 - 0.01} = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$ 。

8. 常见陷阱（Common Pitfalls）

错误做法：计算AP第 $n$ 项时用 $n$ 代替 $n - 1$ ，比如首项3、公差2的AP第5项算成 $3 + 5 \times 2 = 13$ 。原因：混淆了项数和公差的累加次数。 正确做法：第 $n$ 项共累加 $n - 1$ 次公差，第5项应为 $3 + (5 - 1) \times 2 = 11$ 。
错误做法：对 $∣ r ∣ \geq 1$ 的等比数列使用无穷和公式。原因：忽略了无穷和公式的适用前提。 正确做法：只有 $∣ r ∣ < 1$ 时 $S_{\infty}$ 存在，否则级数发散。
错误做法：二项式展开时只给变量乘幂，忘记系数也要乘幂，比如 $(2 x + 1)^{2}$ 展开成 $4 x^{2} + 6 x + 1$ 。原因：对 $(a + b)^{n}$ 的 $a$ 定义理解不到位。 正确做法： $a = 2 x$ ，因此展开为 $(2 x)^{2} + 2 \times 2 x \times 1 + 1^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 1$ 。
错误做法：西格玛求和时算错项数，比如 $\sum_{r = 2}^{5} u_{r}$ 当成3项。原因：忽略了上下限都要包含在内。 正确做法：总项数=上限-下限+1， $\sum_{r = 2}^{5} u_{r}$ 共4项。

9. 练习题（A-Level Mathematics Paper 1风格）

题1

已知等差数列前3项为5, 9, 13，求：(a) 第20项的值；(b) 前20项的和。解答： (a) 首项 $a = 5$ ，公差 $d = 4$ ， $u_{20} = 5 + (20 - 1) \times 4 = 81$ (b) $S_{20} = \frac{20}{2} \times (2 \times 5 + 19 \times 4) = 10 \times 86 = 860$

题2

已知等比数列首项为16，公比为 $\frac{1}{2}$ ，求：(a) 第10项的值；(b) 无穷项的和。解答： (a) $u_{10} = 16 \times (\frac{1}{2})^{9} = \frac{16}{512} = \frac{1}{32}$ (b) $∣ r ∣ = \frac{1}{2} < 1$ ， $S_{\infty} = \frac{16}{1 - \frac{1}{2}} = 32$

题3

展开 $(1 - 2 x)^{4}$ ，并求 $x^{2}$ 项的系数。解答： $$\begin{align*} (1-2x)^4 &= \binom{4}{0}1^4(-2x)^0 + \binom{4}{1}1^3(-2x)^1 + \binom{4}{2}1^2(-2x)^2 + \binom{4}{3}1^1(-2x)^3 + \binom{4}{4}1^0(-2x)^4 \ &=1 -8x +24x^2 -32x^3 +16x^4 \end{align*}$$ $x^{2}$ 项系数为24。

10. 速查表（Quick Reference Cheatsheet）

类型	核心公式	备注
等差数列	$u_{n} = a + (n - 1) d$ ， $S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) d) = \frac{n}{2} (a + l)$	$d$ 为公差， $l$ 为末项
等比数列	$u_{n} = a r^{n - 1}$ ， $S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} (r \neq = 1)$	$r$ 为公比， $r = 1$ 时 $S_{n} = na$
无穷等比和	$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$	仅$
二项式展开	$(a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (r n) a^{n - r} b^{r}$	$n$ 为正整数， $(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$
西格玛求和	$\sum_{r = m}^{k} u_{r} = u_{m} + u_{m + 1} + ... + u_{k}$	总项数= $k - m + 1$

11. 接下来怎么学

数列是Pure 1的基础考点，后续你会在Paper 3的进阶微积分、统计单元的二项分布等内容中用到本章节的求和、二项式展开知识，扎实掌握这部分内容能大幅降低后续知识点的学习难度。如果你在做题过程中遇到任何疑问，随时可以到小欧主页提问，我们会第一时间为你解答哦。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。

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