A-Level 数学 · Paper 1 (Pure Mathematics 1) · Integration (Pure 1) / 积分 (Pure 1) · 阅读约 16 分钟 · 更新于 2026-05-06

积分 (Pure 1) (Integration (Pure 1)) — A-Level Mathematics Pure 1 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 1 (Pure Mathematics 1) 的考生。

覆盖内容：覆盖不定积分作为反导数的幂法则、积分常数求解、定积分计算、曲线下与曲线间面积、x轴下方负面积解释、x轴旋转体体积、(ax+b)^n型反向链式法则7大核心考点。

前置知识：IGCSE / Add-Maths 代数、绘制基本曲线、解一次方程与简单二次方程。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是积分？

积分是微分的逆运算，核心作用是求解累积量（如面积、体积、位移等），是A-Level Mathematics Pure 1的核心考点，占比约10-15分，常和函数、坐标几何结合出大题。积分分为两类：不带上下限的不定积分(indefinite integral)（结果为函数族）和带上下限的定积分(definite integral)（结果为确定数值）。

2. 不定积分作为反导数：幂法则逆用

不定积分的本质是求反导数(antiderivative)：如果 $\frac{d}{d x} F (x) = f (x)$ ，那么 $\int f (x) d x = F (x) + C$ 。我们已经知道微分的幂法则是 $\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$ ，逆推就能得到积分的幂法则： $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)$ 规则很简单：指数加1，再除以新的指数。多项式可以逐项积分，比如： $\int 3 x^{2} + 2 x + 5 d x = 3 \times \frac{x ^{3}}{3} + 2 \times \frac{x ^{2}}{2} + 5 x + C = x^{3} + x^{2} + 5 x + C$

3. 积分常数：利用已知点确定积分式

上面的 $C$ 就是积分常数(constant of integration)：因为任意常数的导数都是0，所以同一个被积函数有无数个原函数，相差一个常数。如果题目给出了原函数经过的某个点，我们就可以代入求解 $C$ ，得到唯一的原函数。比如已知 $\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 2 x$ ，且曲线 $y = f (x)$ 过点 $(1, 3)$ ：

先求不定积分： $y = \int 4 x^{3} - 2 x d x = x^{4} - x^{2} + C$
代入 $x = 1, y = 3$ ： $1 - 1 + C = 3$ ，解得 $C = 3$
最终曲线方程： $y = x^{4} - x^{2} + 3$

4. 定积分：微积分基本定理

带上下限的积分就是定积分，根据微积分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)，定积分的计算规则是： $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ 其中 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的一个原函数， $a$ 是下限， $b$ 是上限。注意定积分的结果是数值，不需要加积分常数 $C$ 。举个例子，计算 $\int_{1}^{3} 2 x d x$ ：

求原函数： $F (x) = x^{2}$
代入上下限作差： $F (3) - F (1) = 3^{2} - 1^{2} = 9 - 1 = 8$

5. 曲线下面积与两条曲线间的面积

定积分的几何意义就是曲线与 $x$ 轴在上下限之间围成的面积：

单条曲线 $y = f (x)$ 从 $x = a$ 到 $x = b$ 与 $x$ 轴围成的面积，就是 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ （曲线在 $x$ 轴上方时）
两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 围成的面积，等于上方函数减下方函数的定积分： $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x$ ，其中 $a, b$ 是两条曲线的交点横坐标。比如求 $y = x$ 和 $y = x^{2}$ 在 $x = 0$ 到 $x = 1$ 之间的面积：

区间内 $y = x$ 在上方，所以被积函数为 $x - x^{2}$
积分计算： $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

6. x轴下方的面积：有符号面积的解释

定积分是有符号面积(signed area)：如果曲线在 $x$ 轴下方，积分结果会是负数，但实际几何面积是正数，所以要取绝对值。如果曲线在区间内穿过 $x$ 轴，需要分段积分，每段取绝对值后相加。比如求 $y = x - 2$ 从 $x = 0$ 到 $x = 3$ 与 $x$ 轴围成的面积：

曲线在 $x = 2$ 处穿过 $x$ 轴， $0 < x < 2$ 时在下方， $2 < x < 3$ 时在上方
分段计算： $\int_{0}^{2} (x - 2) d x + \int_{2}^{3} (x - 2) d x = ∣ - 2∣ + 0.5 = 2.5$

7. 绕x轴旋转体体积

积分另一个高频考点是求曲线绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转体体积(volume of revolution)，公式为： $V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x$ 原理是把旋转体切成无数个厚度为 $d x$ 的薄圆盘，每个圆盘的半径是 $y$ ，体积是 $π y^{2} d x$ ，积分后就是总体积。比如求 $y = x^{2}$ 从 $x = 0$ 到 $x = 2$ 绕 $x$ 轴旋转的体积：

先算 $y^{2} = (x^{2})^{2} = x^{4}$
代入公式： $V = π \int_{0}^{2} x^{4} d x = π [\frac{x ^{5}}{5}]_{0}^{2} = \frac{32 π}{5}$

8. (ax+b)^n型被积函数的反向链式法则

对于形如 $(a x + b)^{n}$ 的被积函数，我们用**反向链式法则(reverse chain rule)**求解：因为 $\frac{d}{d x} (a x + b)^{n + 1} = a (n + 1) (a x + b)^{n}$ ，逆推得到： $\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C (n \neq = - 1)$ 简单记就是：正常按幂法则积分，再除以 $x$ 的系数 $a$ 。比如： $\int (2 x + 3)^{4} d x = \frac{( 2 x + 3 ) ^{5}}{2 \times 5} + C = \frac{( 2 x + 3 ) ^{5}}{10} + C$

9. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

错误做法：不定积分结果漏写 $+ C$ ，比如 $\int 2 x d x$ 直接写 $x^{2}$ 。原因：误以为 $C$ 是无关项，忽略了常数的导数为0，逆运算有无数个原函数。正确做法：所有不定积分结果必须加 $C$ ，考官明确将漏写 $C$ 列为扣分点，哪怕其余计算全对也会扣1分。
错误做法：定积分计算时代入上下限顺序反了，算成 $F (a) - F (b)$ 。原因：记混上下限的顺序。正确做法：永远是上限代入的结果减下限代入的结果，符号错误会导致面积、体积的结果完全错误。
错误做法：求 $x$ 轴下方的几何面积时直接用负的积分结果。原因：混淆有符号积分和实际几何面积的概念。正确做法：只要积分结果为负，求面积时必须取绝对值，跨 $x$ 轴的区间要分段积分再相加。
错误做法：计算旋转体体积时忘记平方 $y$ 或者漏乘 $π$ 。原因：记混公式结构。正确做法：写公式时先写 $V = π \int y^{2} d x$ ，再代入 $y$ 的表达式，避免漏项。
错误做法：反向链式法则计算时漏除以系数 $a$ ，比如 $\int (2 x + 1)^{3} d x$ 写成 $\frac{( 2 x + 1 ) ^{4}}{4} + C$ 。原因：只记得幂法则步骤，忽略链式法则的逆运算要除以内层函数的导数。正确做法：积分后立刻检查分母是否包含 $x$ 的系数 $a$ 。

10. 练习题 (A-Level Mathematics P1 风格)

题1

已知曲线的导数 $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 4 x + 1$ ，且曲线过点 $(2, 5)$ ，求曲线的方程。

解答

求不定积分： $y = \int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = x^{3} - 2 x^{2} + x + C$
代入点 $(2, 5)$ ： $2^{3} - 2 \times 2^{2} + 2 + C = 5 ⟹ 8 - 8 + 2 + C = 5 ⟹ C = 3$
最终曲线方程： $y = x^{3} - 2 x^{2} + x + 3$

题2

求曲线 $y = x^{2} + 1$ 和直线 $y = 3 - x$ 在 $x = 0$ 到 $x = 1$ 之间围成的面积。

解答

区间内 $y = 3 - x$ 始终在 $y = x^{2} + 1$ 上方，被积函数为： $(3 - x) - (x^{2} + 1) = 2 - x - x^{2}$
计算定积分： $\int_{0}^{1} (2 - x - x^{2}) d x = [2 x - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} = 2 - 0.5 - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$
面积为 $\frac{7}{6}$ 平方单位。

题3

求曲线 $y = 3 x + 1$ 从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 绕 $x$ 轴旋转一周的体积。

解答

先计算 $y^{2} = 3 x + 1$ ，代入旋转体体积公式： $V = π \int_{0}^{1} (3 x + 1) d x$
计算积分： $\int_{0}^{1} (3 x + 1) d x = [\frac{3}{2} x^{2} + x]_{0}^{1} = 1.5 + 1 = 2.5$
体积为 $\frac{5 π}{2}$ 立方单位。

11. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

积分类型	公式	注意事项
基础幂法则	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)$	不定积分必须加 $C$
反向链式法则（ $(a x + b)^{n}$ 型）	$\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C (n \neq = - 1)$	不要漏除以系数 $a$
定积分基本定理	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$	结果无 $C$ ，上限减下限
曲线下几何面积	跨 $x$ 轴时：$\sum \left	\int f(x)dx\right
两曲线间面积	$\int_{a}^{b} (f_{上} (x) - f_{下} (x)) d x$	提前确认上下函数关系
绕 $x$ 轴旋转体体积	$V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x$	先平方 $y$ 再积分，不要漏乘 $π$

12. 接下来怎么学

积分是Pure 1的核心基础知识点，后续Pure 3中你还会学习更复杂的积分方法（如分部积分、换元积分、三角函数积分等），掌握本节的基础积分规则、面积与体积计算逻辑，是后续学习高阶积分的必要前提，同时本节内容在P1考试中常和函数、坐标几何考点结合出8-10分的大题，需要多刷近5年真题熟悉出题套路。如果你在刷真题过程中遇到任何积分相关的疑问，或者需要更多针对性练习题，都可以随时找小欧提问，我们会为你提供一对一的解题指导和考点梳理。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。

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