微分 (Pure 1) (Differentiation (Pure 1)) — A-Level Mathematics Pure 1 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 1 (Pure Mathematics 1) 的考生。

覆盖内容：覆盖导数极限定义、幂函数求导法则、链式法则、函数增减区间判定、驻点求解与分类、优化应用题、相关变化率所有考纲要求子主题。

前置知识：IGCSE / Add-Maths 代数、绘制基本曲线、解一次方程与简单二次方程。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是微分？

微分（differentiation）是求解函数瞬时变化率的数学方法，几何意义对应函数曲线在某一点的切线斜率，是Pure 1章节占比最高的考点之一，约占试卷总分15%-20%。常用记号包括函数$f(x)$的导数（derivative）记为$f^{\prime }(x)$，或因变量$y$对自变量$x$的导数记为$\frac{dy}{dx}$，两种记号在考试中均可使用。

2. 导数的极限定义（Derivative as a limit）

导数的核心定义来自割线斜率的极限：当割线两个交点的水平距离$h$趋近于0时，割线斜率就等于切线斜率，即： $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 范例：用极限定义求$f(x)=x^2$的导数：

1. 代入公式：$f(x+h)=(x+h{)}^2=x^2+2xh+h^2$
2. 计算差值：$f(x+h)-f(x)=2xh+h^2$
3. 除以$h$并求极限：${\lim }_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}={\lim }_{h\to 0}(2x+h)=2x$，即$f^{\prime }(x)=2x$。

3. 基础求导法则：幂法则、和差法则、常数倍数法则

无需每次用极限推导，掌握三个基础法则可快速求多项式导数：

1. 幂法则（power rule）：$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$，$n$为任意实数
2. 常数倍数法则（constant multiple rule）：$\frac{d}{dx}[kf(x)]=k{f}^{\prime }(x)$，$k$为常数
3. 和差法则（sum/difference rule）：$\frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$ 范例：求$y=3x^4+2x^3-\frac{5}{x^2}+7$的导数： 把所有项写成幂函数形式：$y=3x^4+2x^3-5x^{-2}+7$，分别求导得： $$\frac{dy}{dx}=3\times 4x^3+2\times 3x^2-5\times (-2)x^{-3}+0=12x^3+6x^2+\frac{10}{x^3}$$

4. 复合函数求导：链式法则入门（Chain Rule）

复合函数（composite function）形如$f(g(x))$，可理解为“函数套函数”，求导需用链式法则： $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$$ 其中$u$是中间变量，即$y=f(u)$，$u=g(x)$。 范例：求$y=(2x+5{)}^6$的导数： 设$u=2x+5$，则$y=u^6$，分别求导：$\frac{dy}{du}=6u^5$，$\frac{du}{dx}=2$，代入得： $$\frac{dy}{dx}=6u^5\times 2=12(2x+5{)}^5$$ 应试提示：Paper 1仅要求掌握单层复合函数求导，无需处理多层嵌套。

5. 函数的递增/递减区间（Increasing / Decreasing Intervals）

导数的符号直接反映函数的增减性：

• 若区间内$f^{\prime }(x)>0$，函数在该区间递增
• 若区间内$f^{\prime }(x)<0$，函数在该区间递减 范例：求$f(x)=x^3-12x+1$的递增和递减区间：

1. 求导得$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$
2. 找导数为0的分界点：$x=2$、$x=-2$
3. 分区间判定符号：$x<-2$时$f^{\prime }(x)>0$（递增），$-2<x<2$时$f^{\prime }(x)<0$（递减），$x>2$时$f^{\prime }(x)>0$（递增）。

6. 驻点的求解与分类（Stationary Points）

驻点（stationary point）是满足$f^{\prime }(x)=0$的点，分为三类：极大值点、极小值点、拐点（inflection point），Paper 1常用二阶导数法分类：

• 若$f^{\prime \prime }(x)>0$：该点为极小值点（曲线下凸）
• 若$f^{\prime \prime }(x)<0$：该点为极大值点（曲线上凸）
• 若$f^{\prime \prime }(x)=0$：需用一阶导数左右变号法二次检验 范例：求$f(x)=x^3-3x^2+2$的驻点并分类：

1. 一阶导数$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$，令$f^{\prime }(x)=0$得驻点$x=0$、$x=2$
2. 二阶导数$f^{\prime \prime }(x)=6x-6$
3. 代入检验：$x=0$时$f^{\prime \prime }(0)=-6<0$，为极大值点，$f(0)=2$；$x=2$时$f^{\prime \prime }(2)=6>0$，为极小值点，$f(2)=-2$。

7. 优化问题（Optimisation）

优化问题是将实际场景的最值需求转化为函数驻点求解的应用题，通用步骤：

1. 设定变量，列出目标函数（即需要求最值的量）
2. 利用题目给出的约束条件，将目标函数转化为单变量函数
3. 求导找驻点，检验驻点是否为最值（必要时检验定义域端点）
4. 代入计算最终结果 范例：用80m长的篱笆围矩形菜地，一侧靠墙无需篱笆，求菜地最大面积：
5. 设垂直墙的边长为$x$ m，则平行墙的边长为$(80-2x)$ m，面积$A=x(80-2x)=80x-2x^2$
6. 求导得$\frac{dA}{dx}=80-4x$，令$\frac{dA}{dx}=0$得$x=20$
7. 二阶导数$\frac{d^{2}A}{d{x}^2}=-4<0$，为极大值点，即最大值
8. 最大面积$A=20\times (80-40)=800$ m²。

8. 相关变化率（Connected Rates of Change）

相关变化率用于求解两个关联的量随时间的变化率关系，核心公式为链式法则的变形： $$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times \frac{dx}{dt}$$ 其中$t$为时间，已知两个变化率即可求第三个。 范例：球形气球的半径以3cm/s的速度增大，求半径为4cm时体积的增大速率：

1. 球体积公式$V=\frac{4}{3}\pi r^3$，求导得$\frac{dV}{dr}=4\pi r^2$
2. 已知$\frac{dr}{dt}=3$ cm/s，代入公式得$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\times \frac{dr}{dt}=4\pi r^2\times 3$
3. 代入$r=4$得$\frac{dV}{dt}=4\pi \times 16\times 3=192\pi$ cm³/s。

9. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误做法：求幂函数导数时漏处理负指数，比如$\frac{d}{dx}(x^{-2})$算成$-2x^{-1}$；原因：记错幂法则指数减1的规则；正确做法：指数减1为$-2-1=-3$，结果为$-2x^{-3}$。
2. 错误做法：复合函数求导漏乘内层导数，比如$(3x+2{)}^4$求导算成$4(3x+2{)}^3$；原因：忘记链式法则的内层导数项；正确做法：乘内层导数3，结果为$12(3x+2{)}^3$。
3. 错误做法：二阶导数为0时直接判定为拐点；原因：忽略二阶导数为0只是拐点的必要非充分条件；正确做法：检验一阶导数在该点左右是否变号，不变号则为极值点。
4. 错误做法：相关变化率计算时单位不统一，比如半径单位为cm，变化率单位为m/s直接代入计算；原因：忽略单位一致性要求；正确做法：先统一单位再代入公式计算。

10. 练习题 (A-Level Mathematics Paper 1 风格)

题1

求函数$y=2x^5+3\sqrt{x}-\frac{4}{x^3}+9$的导数$\frac{dy}{dx}$。 解答： 改写为幂函数形式：$y=2x^5+3x^{\frac{1}{2}}-4x^{-3}+9$ 分别求导得： $$\frac{dy}{dx}=10x^4+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+12x^{-4}=10x^4+\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{12}{x^4}$$

题2

求函数$f(x)=2x^3-15x^2+24x+6$的驻点并分类。 解答：

1. 一阶导数$f^{\prime }(x)=6x^2-30x+24=6(x-1)(x-4)$，令$f^{\prime }(x)=0$得驻点$x=1$、$x=4$
2. 二阶导数$f^{\prime \prime }(x)=12x-30$
3. 检验：$x=1$时$f^{\prime \prime }(1)=-18<0$，为极大值点，$f(1)=17$；$x=4$时$f^{\prime \prime }(4)=18>0$，为极小值点，$f(4)=-10$

题3

正圆锥的高始终等于底面直径，若体积以$16\pi$ cm³/s的速度增加，求底面半径为2cm时半径的增大速率。 解答：

1. 高$h=2r$，圆锥体积$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^2\times 2r=\frac{2}{3}\pi r^3$
2. 求导得$\frac{dV}{dr}=2\pi r^2$
3. 由相关变化率公式$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\times \frac{dr}{dt}$，代入$\frac{dV}{dt}=16\pi$、$r=2$得： $$16\pi =2\pi \times 4\times \frac{dr}{dt}⟹\frac{dr}{dt}=2\text{ cm/s}$$

11. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

12. 接下来怎么学

微分是Pure数学的核心基础，本章节内容是后续Pure 3中乘积法则、商法则、隐函数求导、微分方程等内容的前置知识，同时也会和坐标几何、三角函数章节结合出综合题，建议你在掌握基础规则后，多刷近5年真题的微分相关题目，熟悉不同题型的考法。 如果你在刷题过程中遇到任何微分相关的题目不会做，或者对考点有疑问，随时可以到小欧提问，我们会给你提供针对性的讲解和练习。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。