直线运动 (运动学) (Kinematics of Motion in a Straight Line) — A-Level Mathematics Mechanics 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 4 (Mechanics) 的考生。

覆盖内容：位移速度加速度定义与符号、匀加速suvat公式、变加速微积分应用、速度时间图像、重力下竖直运动、多阶段运动、平均与瞬时速度、归原点与相遇问题八大核心考点。

前置知识：基本微分与积分 (P1 微积分)、读图能力。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是直线运动（运动学）？

直线运动（运动学）是力学的入门基础考点，占Paper4总分的10%-15%，核心是不考虑物体受力，仅研究轨迹为直线的物体的位移、速度、加速度随时间的变化规律。本章节所有模型均将物体视为质点，无需考虑体积和旋转，所有矢量都沿唯一的运动方向或反方向，无需分解。

2. 位移、速度、加速度的定义与符号规则

首先明确三个核心矢量的定义，首次出现标注英文：

• 位移 (displacement, $s$)：质点相对于选定原点的位置变化，是矢量，区别于标量路程 (distance)（运动路径的总长度）。
• 速度 (velocity, $v$)：位移对时间的变化率，是矢量，区别于标量速率 (speed)（速度的大小）。
• 加速度 (acceleration, $a$)：速度对时间的变化率，是矢量，加速度与速度同方向时物体加速，反方向时减速。

符号规则：解题第一步必须先设定正方向，所有物理量与正方向同向为正、反向为负。例如设定向上为正方向时，重力加速度的取值为$-9.8{\text{m/s}}^2$（或$-10{\text{m/s}}^2$，依题目要求）。

范例：设向东为正方向，质点从原点出发向东走5m，再向西走3m，最终位移为$+2\text{m}$，总路程为$8\text{m}$。

3. 匀加速运动（suvat）公式

当加速度$a$为恒定值时，可使用5个物理量对应的3个核心公式，公式命名来自5个量的首字母：$s$（位移）、$u$（初速度）、$v$（末速度）、$a$（加速度）、$t$（时间）：

1. $v=u+at$：由加速度定义$a=\frac{v-u}{t}$变形得到，适合已知时间求末速度的场景
2. $s=ut+\frac{1}{2}a{t}^2$：由平均速度$\frac{u+v}{2}$乘以时间$t$，再代入第一个公式消去$v$得到
3. $v^2=u^2+2as$：消去时间$t$推导得到，适合未知时间的场景

范例：汽车从静止（$u=0$）以$2{\text{m/s}}^2$匀加速行驶，求10s后的位移：代入第二个公式得$s=0\times 10+\frac{1}{2}\times 2\times 10^2=100\text{m}$。

4. 变加速运动的微积分计算

当加速度随时间变化时，suvat公式不再适用，需使用微积分关联三个物理量：

• 微分关系：速度是位移对时间的一阶导$v=\frac{ds}{dt}$，加速度是速度对时间的一阶导（位移的二阶导）$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}$
• 积分关系：$v=\int adt$、$s=\int vdt$，积分常数为$t=0$时的初速度或初位移

范例：已知质点位移方程为$s=2t^3+t$（单位：m），求$t=2\text{s}$时的速度：对$s$求导得$v=6t^2+1$，代入$t=2$得$v=25\text{m/s}$。

5. 速度-时间图像（velocity-time graph）

速度-时间图像是高频读图题考点，核心规则只有2条：

1. 图像的斜率 (gradient) 等于对应时刻的加速度，斜率为正代表加速、为负代表减速、水平代表匀速
2. 图像与时间轴围成的面积等于对应时间段的位移：时间轴上方的面积为正位移，下方为负位移，总位移为正负面积的代数和，总路程为面积绝对值的和

范例：质点前2s速度从0匀加到$4\text{m/s}$，之后2s保持匀速，总位移为三角形面积$\frac{1}{2}\times 2\times 4=4\text{m}$加矩形面积$2\times 4=8\text{m}$，合计$12\text{m}$。

6. 重力作用下的竖直运动

竖直运动是必考题型，默认重力加速度$g$取$9.8$或$10{\text{m/s}}^2$（题目会明确给出），核心注意点：

• 第一步先设定正方向，通常设向上为正，此时加速度$a=-g$
• 竖直上抛的最高点速度为0，下落过程如果落到初始位置以下，位移为负

范例：小球以$20\text{m/s}$的速度竖直上抛，$g$取$10{\text{m/s}}^2$，求最高点高度：最高点$v=0$，代入$v^2=u^2+2as$得$0=20^2+2\times (-10)\times s$，解得$s=20\text{m}$。

7. 多阶段运动

多阶段运动指物体的运动分为多个加速度不同的阶段（比如汽车先加速、再匀速、再减速），核心解题技巧：

• 两个相邻阶段的连接点速度是公共量：前一阶段的末速度等于后一阶段的初速度
• 总位移为各阶段位移之和，总时间为各阶段时间之和，分别计算各阶段的物理量再相加即可

8. 平均速度与瞬时速度

两个易混淆概念的核心区别：

• 平均速度 (average velocity)：矢量，等于总位移除以总时间，仅能描述一段时间内的平均运动快慢
• 瞬时速度 (instantaneous velocity)：矢量，等于某一时刻的速度，即位移对时间的导数，或v-t图像上某一点的斜率

注意：平均速度不等于平均速率，平均速率是总路程除以总时间，是标量。例如跑400m一圈用时100s，平均速度为0（位移为0），平均速率为$4\text{m/s}$。

9. 归原点与相遇问题

两类高频应用题的解题逻辑：

• 归原点问题：质点回到初始出发点时位移$s=0$，代入对应运动公式解方程即可，舍去$t=0$的解（对应出发时刻）
• 相遇问题：两个质点同时到达同一位置时位移相等（同原点出发），或位移差等于初始距离，列方程求解即可，注意舍去时间为负的无效解

范例：A从原点以$2\text{m/s}$匀速出发，3s后B从原点以$4\text{m/s}$同方向匀速出发，设B出发$t$秒后相遇，则A的位移为$2(t+3)$，B的位移为$4t$，联立得$2t+6=4t$，解得$t=3\text{s}$。

10. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 混淆位移和路程：错误做法是把路径总长度当代入公式的位移，比如竖直上抛落回地面时把总路程40m当位移计算；错误原因是没有理清矢量和标量的区别；正确做法是位移仅看初末位置差，算路程才用路径总长度。
2. 符号规则混乱：错误做法是设向上为正方向时仍把$g$取正值；错误原因是解题时没有先明确正方向的习惯；正确做法是解题第一步就写下正方向，所有物理量按方向标注正负。
3. 变加速用suvat公式：错误做法是看到运动题就直接套suvat，忽略加速度是变化的；错误原因是没有记清suvat的适用前提；正确做法是先判断加速度是否恒定，变加速必须用微积分。
4. v-t图像算位移忽略负面积：错误做法是计算总位移时直接把时间轴上下的面积绝对值相加；错误原因是忘记面积的正负对应位移的方向；正确做法是算位移时下方面积带负号，算路程才取绝对值。

11. 练习题（A-Level Mathematics Paper4风格）

题1

题干：汽车从静止开始以$2{\text{m/s}}^2$匀加速行驶5s，之后保持匀速行驶10s，最后以$-4{\text{m/s}}^2$匀减速到静止，求总位移。 解答：

• 加速阶段：$s_1=ut+\frac{1}{2}a{t}^2=0+\frac{1}{2}\times 2\times 5^2=25\text{m}$，末速度$v=0+2\times 5=10\text{m/s}$
• 匀速阶段：$s_2=10\times 10=100\text{m}$
• 减速阶段：代入$v^2=u^2+2as$得$0=10^2+2\times (-4)\times s_3$，解得$s_3=12.5\text{m}$
• 总位移：$25+100+12.5=137.5\text{m}$

题2

题干：质点位移方程为$s=3t^2-t^3$（单位：m，$t$单位：s），求$t=2\text{s}$时的加速度。 解答：

• 速度为位移的一阶导：$v=\frac{ds}{dt}=6t-3t^2$
• 加速度为速度的一阶导：$a=\frac{dv}{dt}=6-6t$
• 代入$t=2$得$a=6-12=-6{\text{m/s}}^2$

12. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

13. 接下来怎么学

直线运动是整个力学的基础，后续的牛顿运动定律、动量、能量章节都会用到本章的运动分析能力，掌握好本章的符号规则、公式选择和多阶段拆分技巧，能大幅降低后续内容的学习难度。

如果你在刷真题的过程中遇到任何不懂的题目，或者对某个考点还有疑问，都可以随时到小欧提问，我们会第一时间给你针对性的解答。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。