不确定性分析

A-Level 物理· Practical Skills 1.2(e): Uncertainties and measurements· 15 分钟阅读

1. 误差类型与核心不确定度定义★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

所有实验测量都存在可量化的不确定度，它不是错误，而是真值所在的范围。不确定度来源于两大类误差。

📘 定义

随机误差

测量结果之间不可预测的差异，导致真值附近产生离散，可通过多次测量取平均值减小。

例:

多次测量下落物体的秒表读数存在差异

📘 定义

系统误差

所有测量结果一致、可重复的误差偏移，使所有测量结果向同一方向偏离真值，无法通过取平均值减小。

例:

一支温度计始终比真实温度高0.5°C

📘 定义

绝对不确定度

\Delta x

测量中误差的绝对范围，单位与测量值相同，等于多次测量范围的一半或仪器最小分度值。

例:

$10 \pm 0.1$ g has an absolute uncertainty of 0.1 g

📘 定义

百分不确定度

以测量值百分比表示的绝对不确定度，方便比较不同大小测量量的不确定度。

例:

A 10 g mass with 0.1 g absolute uncertainty has a 1% percentage uncertainty

📐 例题

一名学生测量金属丝直径3次，得到0.42 mm、0.46 mm、0.44 mm。计算绝对不确定度和百分不确定度。

1
计算平均直径：
$d = \frac{0.42 + 0.46 + 0.44}{3} = 0.44 \text{ mm}$
2
找到测量值的范围：
$\text{Range} = 0.46 - 0.42 = 0.04 \text{ mm}$
3
绝对不确定度是范围的一半：
$\Delta d = \frac{0.04}{2} = 0.02 \text{ mm}$
4
计算百分不确定度：
$\text{Percentage uncertainty} = \frac{0.02}{0.44} \times 100 \approx 4.5\%$
5
Final result: $d = 0.44 \pm 0.02$ mm (or 0.44 mm ± 4.5%)

Exam tip:

CIE要求多次测量得到的绝对不确定度取范围的一半，而非整个范围。除非首位数字是1，否则不确定度保留1位有效数字。

2. 不确定度合成：加法与减法★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当对测量量进行加法或减法运算时，始终将各测量量的绝对不确定度相加得到总不确定度。该规则无论你做加法还是减法都适用，因为不确定度总会增加总误差。

Q = a \pm b \implies \Delta Q = \Delta a + \Delta b

📐 例题

空烧杯质量为 $50.0 \pm 0.1$ g，加水后总质量为 $126.4 \pm 0.2$ g。求水的质量及其不确定度。

1
通过减法计算水的质量：
$m = 126.4 - 50.0 = 76.4 \text{ g}$
2
将两个测量量的绝对不确定度相加：
$\Delta m = 0.1 + 0.2 = 0.3 \text{ g}$
3
Final result: $m = 76.4 \pm 0.3$ g

✓ 快速检测

检测你的理解

If $x = 10 \pm 1$ and $y = 5 \pm 0.5$ , what is the absolute uncertainty in $x - y$ ?
- 0.5
- 1.5
- 5.5
显示答案
1 —
正确！加法和减法我们始终将绝对不确定度相加，所以1 + 0.5 = 1.5。即使做减法运算，不确定度依然相加。

3. 不确定度合成：乘法、除法与幂运算★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

对于乘法、除法和幂运算，我们使用百分不确定度，将所有变量的百分不确定度相加。对于幂运算，将百分不确定度乘以变量的指数。

\text{For } Q = \frac{ab}{c} \implies \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = \frac{\Delta a}{a} \times 100 + \frac{\Delta b}{b} \times 100 + \frac{\Delta c}{c} \times 100 \\ \text{For } Q = a^n \implies \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = n \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right)

📐 例题

Power $P = V^{2} / R$ , where $V = 10.0 \pm 0.5$ V and $R = 4.0 \pm 0.1$ Ω. Find the percentage uncertainty in $P$ .

1
Calculate percentage uncertainty for V and R:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 5\%, \quad \frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2.5\%$
2
Multiply V's percentage uncertainty by its exponent (2):
$\text{Uncertainty from } V = 2 \times 5\% = 10\%$
3
Add all percentage uncertainties:
$\text{Total percentage uncertainty} = 10\% + 2.5\% = 12.5\%$
4
Convert to absolute uncertainty for final result:
$P = 25 \text{ W}, \quad \Delta P = 3 \text{ W}, \quad P = 25 \pm 3 \text{ W}$

4. 图形分析中的不确定度★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

在实验考核中，你经常需要计算最佳拟合线斜率的不确定度。误差棒用于显示每个绘图点的绝对不确定度。

要计算斜率的不确定度，画出能穿过几乎所有误差棒的最陡和最平缓的可能最佳拟合线。斜率的绝对不确定度等于最大斜率和最小斜率差值的一半。

📐 例题

Best-fit gradient is 2.4. Maximum possible gradient is 2.6, minimum is 2.2. Find the uncertainty in gradient.

1
Calculate the range between maximum and minimum gradient:
$\text{Range} = 2.6 - 2.2 = 0.4$
2
Absolute uncertainty is half the range:
$\Delta m = 0.2$
3
Final result: $m = 2.4 \pm 0.2$

Exam tip:

即使最终不确定度有小的计算错误，只要你正确画出误差棒和最大/最小线，也能得到大部分分数。

5. 常见陷阱

错误做法:

使用多次测量的整个范围，而非范围的一半作为绝对不确定度

原因:

这会错误地将不确定度翻倍，导致扣分

正确做法:

始终将绝对不确定度计算为多次测量范围的一半

错误做法:

计算两个测量值的差时减去不确定度

原因:

不确定度始终相加，即使你减去测量值，这会低估总误差

正确做法:

所有加法和减法运算都将绝对不确定度相加

错误做法:

乘法和除法计算中加绝对不确定度

原因:

绝对不确定度取决于测量值大小，相加会得到错误的总不确定度

正确做法:

将所有不确定度转换为百分比，相加后如需可再转换回绝对不确定度

错误做法:

计算幂的不确定度时忘记将百分不确定度乘以指数

原因:

这会将总不确定度低估一个等于指数的倍数

正确做法:

始终将百分不确定度乘以变量的指数

错误做法:

首位数字大于1时，不确定度保留两位或更多有效数字

原因:

不确定度是近似估计，额外的有效数字没有意义

正确做法:

首位数字>1时，不确定度保留1位有效数字，仅首位数字为1时保留两位

6. 速查表

运算	不确定度规则
加法/减法 ( $Q = a \pm b$ )	相加绝对不确定度: $Δ Q = Δ a + Δ b$
乘法/除法 ( $Q = ab / c$ )	相加百分不确定度: $\frac{Δ Q}{Q} = \frac{Δ a}{a} + \frac{Δ b}{b} + \frac{Δ c}{c}$
幂运算 ( $Q = a^{n}$ )	百分不确定度乘以 $n$ : $\frac{Δ Q}{Q} = n (\frac{Δ a}{a})$
多次测量	$Δ = \frac{1}{2} \times (ma x - min)$
斜率不确定度 (图像)	$Δ m = \frac{1}{2} \times (m_{ma x} - m_{min})$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 2
计算电阻的不确定度
2023 · 3
合成功率的不确定度
2021 · 2
识别实验中的误差类型

深入阅读

syllabusCIE 9702 AS 物理大纲官方实验技能要求

下一步

不确定性分析是物理所有实验工作的基础，是所有AS和A Level实验考核的核心部分，包括试卷3（实验测试）和试卷2（实验技能理论题）。掌握这些规则能让你正确处理实验数据，避免常见错误，在计算题拿到满分。这些规则也会沿用到A Level实验工作中，应用于更复杂的实验和扩展分析。