微分方程

CIE A-Level 进阶数学· 单元 2：进阶纯数 2· 15 分钟阅读

1. 一阶线性微分方程★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

一阶线性微分方程

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

一阶方程，其中 $y$ 及其导数均为一次幂，系数可以是自变量 $x$ 的函数。

例:

\frac{dy}{dx} + 3y = e^x

要求解上述标准形式的方程，我们首先计算积分因子 $I (x) = e^{\int P (x) d x}$ 。将方程两边同时乘以 $I (x)$ ：根据乘积法则，左侧可化简为 $\frac{d}{d x} (I (x) y)$ 。对两边积分即可求解 $y$ 。

📐 例题

已知 $x = 1$ 时 $y = 2$ ，求解 $x > 0$ 时的方程 $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{2}$ 。

1
1. 从标准形式中确定 $P (x) = \frac{1}{x}$ ， $Q (x) = x^{2}$ 。
2
1. 计算积分因子：
3
$\int P(x) dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x \implies I(x) = e^{\ln x} = x$
4
1. 将方程两边同时乘以 $I (x)$ ：
5
$x \frac{dy}{dx} + y = x^3$
6
1. 将左侧重写为乘积法则的导数形式：
7
$\frac{d}{dx}\left(xy\right) = x^3$
8
1. 对两边积分，加上积分常数：
9
$xy = \frac{x^4}{4} + C$
10
1. 代入边界条件 $y = 2, x = 1$ 求 $C$ ：
11
$(1)(2) = \frac{1^4}{4} + C \implies C = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
12
1. 整理得到最终解：
13
$y = \frac{x^3}{4} + \frac{7}{4x}$

Exam tip:

计算积分因子前，一定要先整理方程，使 $\frac{d y}{d x}$ 的系数为 1，避免 $P (x)$ 的符号或取值出错。

2. 齐次二阶微分方程★★★☆☆⏱ 12 min

📘 定义

齐次二阶线性微分方程（常系数）

a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \quad (a \neq 0)

所有项都包含 $y$ 或其导数的二阶方程，系数 $a, b, c$ 为常数，方程右侧为零。

我们通过构造辅助（特征）二次方程 $a m^{2} + bm + c = 0$ 来求解这类方程。通解的形式完全由该二次方程根的性质决定：

两个不同实根 $m_{1}, m_{2}$ : $y = A e^{m_{1} x} + B e^{m_{2} x}$
一个重实根 $m$ : $y = (A + B x) e^{m x}$
一对共轭复根 $α \pm i β$ : $y = e^{α x} (A cos β x + B sin β x)$

📐 例题

求 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 0$ 的通解。

1
1. 根据系数构造辅助方程：
2
$m^2 - 4m + 4 = 0$
3
1. 因式分解求根：
4
$(m-2)^2 = 0 \implies m = 2 \text{ (重根)}$
5
1. 使用重根的通解公式：
6
$y = (A + Bx) e^{2x}$

3. 非齐次二阶微分方程★★★★☆⏱ 15 min

📘 定义

非齐次二阶线性微分方程（常系数）

a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = f(x) \quad (a \neq 0, f(x) \neq 0)

通解 = 余函数（CF，齐次方程的解） + 特积分（PI，任意满足完整非齐次方程的解）。

我们使用待定系数法求特积分：根据 $f (x)$ 猜测特积分的形式，代入方程求解未知系数。如果猜测的形式与余函数中的某一项相同，则将其乘以 $x$ （重根时乘以 $x^{2}$ ）以得到线性无关解。

📐 例题

求 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6 e^{4 x}$ 的通解。

1
1. 首先求解齐次方程得到余函数：
2
$m^2 - 3m + 2 = 0 \implies (m-1)(m-2) = 0 \implies m = 1, 2$
3
因此余函数为：
4
$CF: y = A e^x + B e^{2x}$
5
1. 猜测特积分： $f (x) = 6 e^{4 x}$ ，且 4 不是辅助方程的根，因此试设 $y = C e^{4 x}$ 。
6
1. 计算导数并代入方程左侧：
7
$\frac{dy}{dx} = 4C e^{4x}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = 16C e^{4x}$
8
$16C e^{4x} - 3(4C e^{4x}) + 2(C e^{4x}) = 6C e^{4x}$
9
1. 与右侧等式相等求解 C：
10
$6C e^{4x} = 6 e^{4x} \implies C = 1$
11
1. 通解为 $y = C F + P I$ ：
12
$y = A e^x + B e^{2x} + e^{4x}$

4. 常见陷阱

错误做法:

未将一阶微分方程整理为标准形式就计算积分因子。

原因:

如果 $\frac{d y}{d x}$ 的系数不是 1，得到的 $P (x)$ 就是错误的，最终解也不正确。

正确做法:

计算 $I (x)$ 前，一定要将整个方程除以 $\frac{d y}{d x}$ 的系数，使其系数等于 1。

错误做法:

对于辅助方程的重根，错误写为 $y = A e^{m x} + B e^{m x} = (A + B) e^{m x}$ 。

原因:

这会化简为仅一个任意常数，对于二阶方程来说是错误的。

正确做法:

对于重根 $m$ ，使用 $y = (A + B x) e^{m x}$ ，该形式包含两个独立的任意常数。

错误做法:

即使 $f (x)$ 与余函数重合，仍然使用原本的特积分猜测形式。

原因:

代入本身就是齐次方程解的特积分会让左侧等于 0，永远不可能等于非零的 $f (x)$ 。

正确做法:

将你的特积分猜测乘以 $x$ （重根时乘以 $x^{2}$ ）得到线性无关解，再代入求解。

错误做法:

一阶微分方程积分后忘记添加积分常数。

原因:

省略 $C$ 意味着通解缺少了必需的任意常数，也无法根据边界条件求出正确的特解。

正确做法:

积分完成后立即添加 $C$ ，再代入边界条件求解它的值。

5. 速查表

方程类型	通解形式
一阶线性: $\frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$	$I = e^{\int P d x}, y = \frac{1}{I} (\int I Q d x + C)$
齐次二阶：不同实根 $m_{1} \neq = m_{2}$	$y = A e^{m_{1} x} + B e^{m_{2} x}$
齐次二阶：重根 $m$	$y = (A + B x) e^{m x}$
齐次二阶：复根 $α \pm i β$	$y = e^{α x} (A cos β x + B sin β x)$
非齐次二阶	$y = 余函数 + 特积分$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
二阶非齐次方程求解
2023 · 2
一阶积分因子问题
2024 · 1
二阶边值问题

深入阅读

syllabusCIE 9231 进阶数学大纲

下一步

微分方程是CIE 9231中考查频率最高的考点之一，在两份进阶纯数试卷中都会出现，还常与力学建模问题结合考查。牢固掌握本文讲解的方法是考试拿高分的关键。本主题是后续学习更高级微分方程主题的基础，也是A-Level进阶数学中各类应用问题的基础。接下来，你可以学习如何使用这些方法对现实系统建模，或者继续学习FP2的其他核心主题。

→进阶力学
→动量与冲量