学习指南

级数求和

CIE A-Level 进阶数学· 30 分钟阅读

1. 标准求和公式★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

标准幂求和公式

∑r=1nr,∑r=1nr2,∑r=1nr3\sum_{r=1}^n r, \sum_{r=1}^n r^2, \sum_{r=1}^n r^3

前个正整数的幂次和的闭式表达式，可通过数学归纳法证明，用于对的多项式表达式求和。

例:

用于通过拆分求和来计算$ \sum_{r=1}^n (2r^2 - 5r + 1)$。

📐 例题

求$ \sum_{r=1}^{20} (r^2 - 3r)$的值

  1. 1

    利用线性性质将和拆分为多个独立的标准和：

  2. 2
    ∑r=120r2−3∑r=120r\sum_{r=1}^{20} r^2 - 3 \sum_{r=1}^{20} r
  3. 3

    代入的标准公式：

  4. 4
    n(n+1)(2n+1)6−3⋅n(n+1)2=20(21)(41)6−3⋅20(21)2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{20(21)(41)}{6} - 3 \cdot \frac{20(21)}{2}
  5. 5

    计算每一项并化简：

  6. 6
    2870−630=22402870 - 630 = 2240

Exam tip:

代入公式前，务必检查求和的上下限。

2. 望远镜级数的差分法★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

📘 定义

望远镜级数

完全展开后中间项相互抵消，仅剩下序列首尾少量项的级数。

例:

任何形如$ \sum_{r=1}^n [f(r) - f(r+1)]$的级数都是望远镜级数。

📐 例题

通过将通项写为差的形式，求$ \sum_{r=1}^n \frac{1}{r(r+1)}$。

  1. 1

    用部分分式分解通项：

  2. 2
    1r(r+1)=1r−1r+1\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}
  3. 3

    写出前三项和最后三项，观察抵消规律：

  4. 4
    (1−12)+(12−13)+(13−14)+...+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)
  5. 5

    所有中间项都抵消，仅剩下第一个表达式的首项和最后一个表达式的末项：

  6. 6
    Sn=1−1n+1=nn+1S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}

3. 用部分分式对有理级数求和★★★★☆⏱ 25 min

✓ 计算器

大多数的有理函数都可以分解为部分分式，再改写为差的形式得到望远镜级数，这是该考点最常见的考试题型之一。

📐 例题

求$ \sum_{r=1}^n \frac{1}{r(r+2)}$的值

  1. 1

    分解为部分分式：

  2. 2
    1r(r+2)=12(1r−1r+2)\frac{1}{r(r+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+2} \right)
  3. 3

    展开各项，观察抵消：

  4. 4
    12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+...+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]\frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) \right]
  5. 5

    抵消中间项，剩下前两个正项和最后两个负项：

  6. 6
    Sn=12(1+12−1n+1−1n+2)=3n2+5n4(n+1)(n+2)S_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{3n^2 + 5n}{4(n+1)(n+2)}
✓ 快速检测

使用上述公式，求$ \sum_{r=1}^3 \frac{1}{r(r+2)}$的值是多少？

  1. 选择正确的值：

    • \frac{2}{3}

    • \frac{5}{6}

    • \frac{3}{4}

    • \frac{11}{12}

    显示答案
    1 —

    正确：代入得$ \frac{3(9) + 5(3)}{4(4)(5)} = \frac{42}{80}？不对，等一下：$ \frac{1}{2}(1 + 1/2 - 1/4 - 1/5) = 1/2 ( (10 + 5 - 2.5 - 1)/10 ) = 5/6$，没错。

4. 常见陷阱

错误做法:

当求和起始于时忘记调整求和范围。

原因:

所有标准公式给出的都是从到的和，因此起始点更高时会得到错误结果。

正确做法:

计算前使用$ \sum_{r=a}^n f(r) = \sum_{r=1}^n f(r) - \sum_{r=1}^{a-1} f(r)$调整上下限。

错误做法:

当项的间隔大于1时，抵消了过多项。

原因:

对于形式的差，前项和后项都不会被抵消。

正确做法:

始终写出前3-4项和后3-4项，明确检查剩余哪些项。

错误做法:

拆分部分分式时出现符号错误。

原因:

符号错误会导致项无法正确抵消，最终得到错误的表达式。

正确做法:

开始求和前，代入一个值（例如）检查部分分式分解是否正确。

错误做法:

在有限求和问题中使用无穷级数的结果。

原因:

混淆前项求和与无穷求和，导致最终答案遗漏含的项。

正确做法:

仔细读题，确认题目要求的是前项和还是无穷和。

5. 速查表

求和类型

公式

前个的和

前个的和

前个的和

望远镜级数

望远镜级数

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

级数求和是几乎所有进阶纯数考点的基础技巧。你会在后续学习中再次用到这些方法：用归纳法证明级数结论、求解递推关系，以及在进阶纯数2中研究无穷级数的收敛性。考试中常将本考点与部分分式、数学归纳法结合，出分值较高的长问题。掌握望远镜级数抵消法和标准公式，可以帮你在考试中节省宝贵时间，也有助于你后续学习更复杂的考点。